Lösung von Aufg. 7.4

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $\epsilon$ ,nkomp(A,B,C,D)
Beh: $\epsilon$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$ $\rightarrow$ trivial

Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $\epsilon$
$A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$
1) $A \in\epsilon$ , $B \in\epsilon$ , $C \notin\epsilon$ und $D \notin\epsilon$
2) $\operatorname{nkoll} \left( ABC \right)$ $\rightarrow$ $\delta_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3) $D \notin\delta_1$ __________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4) $\operatorname{nkoll} \left( BCD \right)$ $\rightarrow$ $\delta_2$ ___________3)
5) $A \notin\delta_2$ ________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) $B \in\delta_2$ und $B \in\epsilon$ ____________2) und 4)
7) $\exists P$ , $P \in\epsilon$ , $P \in\delta_2$ ________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\not\equiv P$
Annahmne: $A\equiv P$
$\delta_1$ : $P \in\delta_1$ , $B \in\delta_1$ , $C \in\delta_1$
$\delta_2$ : $P \in\delta_2$ , $C \in\delta_2$ , $B \in\delta_2$
daraus folgt $\delta_1$ $\equiv$ $\delta_1$ $\rightarrow$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

3.Fall:
1) $A \in\epsilon$
2) $A,B,D \in\beta$ __________________Axiom I/4 und Lemma 3
3) $A,C,D \in\gamma$ ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4) $\beta$ $\not\equiv$ $\gamma$ _____________da sonst $A,B,C,D \in\beta$ Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5) $A \in\beta$ , $A \in\gamma$ __________2) und 3)
6) $\exists P_1$ , $P_1 \in\epsilon$ , $P_1 \in\beta$ ___________Axiom I/6
7) $\exists P_2$ , $P_2 \in\epsilon$ , $P_21 \in\gamma$ ___________Axiom I/6

zu zeigen: $P_1\not\equiv P_2$
Annahme: P1 =P2
8) A, D und $P_1=P_2 \in\beta$
9) A, D und $P_1=P_2 \in\gamma$
10) $\beta$ = $\gamma$
11) Widerspruch zu 4)
$\rightarrow$ A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in $\epsilon$