Lösung von Aufg. 7.1

Es sei $\ g$ eine Gerade und $\ P$ ein Punkt, der nicht zu $\ g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\ \Epsilon$, die sowohl alle Punkte von $\ g$ als auch den Punkt $\ P$ enthält.

Vor: g, P ist nicht Element g
Beh: Es existiert genau eine Ebene E, g$\subset E$, $P \in E$

1) $A,B \in g$_____Axiom I/1
2) nkoll(A,P,B)_______________laut Vor und 1)
3) zu drei nkoll(A,P,B)________Axiom I/4 und 2)
gibt es genau eine Ebene E
4)$g\supset E$_________Axiom I/5
5) Behauptung stimmt

Die Eindeutigkeit das genau eine Ebene E existiert, lässt sich auf das Axiom I/4 zurückführen --Engel82 17:11, 23. Nov. 2010 (UTC)

Die Lösung von Engel82 ist korrekt, prima!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)

Warum ist g Obermenge von E? Müsste es in Punkt 4) nicht entweder $g \subset E$ oder $g \in E$ heißen? --Studentxyz 12:38, 16. Jan. 2011 (UTC)

Lösungsvorschlag 2

vielen Dank für dieses gescannte Bild. Schritt 2 können Sie weglassen und den ersten Teil in Schritt 4 auch,
ansonsten ist alles korrekt!--Schnirch 13:40, 9. Dez. 2010 (UTC)

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Lösungsvorschlag 3:

Voraussetzung:Es sei eine Gerade g und ein Punkt P, $P \notin g$
$\varepsilon$ sei die Menge aller Ebenen.

Behauptung: $\exists ! E \in \varepsilon := g \in E \and P \in E$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exists A,B \in g , A \not= B$	Axiom I.2
(II)	nkoll(A,B,P)	I, Vor. ($P \notin g$), Def I.2 (kollinear)
(III)	$\exists ! E \in \varepsilon := A,B,P \in E$	II, Axiom I.4
(IV)	$g \in E$	I, III, Axiom I.5
(V)	$\exists ! E \in \varepsilon := g \in E \and P \in E$	III, IV

qed.

--Studentxyz 13:25, 16. Jan. 2011 (UTC)