Lösung von Aufg. 13.5

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Vor:$\triangle {AMP}$
Beh: mab,mbc,mac schneiden sich in einem Punkt P

1) Für alle Punkte X der mab der Seite $\overline {AB}$ gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium
|${AX}$|=|${BX}$|

2)Für alle Punkte X der mac der Seite $\overline {AC}$ gilt:____________Mittelsenkrechtenkriterium
|${AX}$|=|${CX}$|
3) Für den Schnittpunkt P der mab und mac gilt:____________________________2), 1)
|${AP}$|= |${BP}$|=|${CP}$|
4)|${CP}$|=|${BP}$|_____________________Mittelsenkrechtenkriterium
$P \in mbc$
5) P ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten_________________3),4)
mab, mbc,mac.
6) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks__________5) und Def. Umkreis --Engel82 18:00, 25. Jan. 2011 (UTC)

Eindeutigkeit:
Annahme:
Es gibt zwei Schnittpunkte P1 und P2 der drei Mittelsenkrechten mab, mbc,mac. Nach I/1 geht durch zwei Punkte genau eine Gerade. Daraus kann man sofort schlussfolgern, dass die Punkte A, B,C kollinear sind. Was wiederum ein Widerspruch zu Nichtkollinearität der Punkte A,B,C in der Voraussetzung ist.--Engel82 16:32, 4. Feb. 2011 (UTC)

Der Beweis ist noch nicht vollständig, es fehlt der Beweis der Eindeutigkeit und 
dass der Punkt Mittelpunkt des Umkreises ist!--Schnirch 14:03, 4. Feb. 2011 (UTC)

Beh.: P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABC

"e"= Element, "/x/"= Betrag

6.) Es existiert genau ein Kreis K mit AeK,BeK und CeK _____________ Ex. und Eind.des Umkreises des Dreiecks ABC

7.) /AP/=/BP/=/CP/ _________________________________________________ Beweisschritt 3.), Radien des Kreises K

8.) P ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABC _______________ 6.),7.)

--Halikarnaz 01:19, 6. Feb. 2011 (UTC)