Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen

Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung

Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

1. Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
2. Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
3. Was ist eine Richtung?
4. Was ist der Richtungssinn?
5. Meint 3. und 4. dasselbe?
6. Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

1. Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
2. Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa $\frac{3}{5} + \frac{7}{12}$ rechnen soll, dann rechne ich halt $\frac{36}{60} +\frac{35}{60}$ und erhalte$\frac{71}{60}$.

3. bis 6.

Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$ bestimmen soll, dann rechne ich halt $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}$ und erhalte $\overrightarrow {AE}$

Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird: Wir haben nicht wirklich die Brüche $\frac{3}{5}$ und $\frac{7}{12}$ addiert, sondern die Brüche $\frac{36}{60}$ und $\frac{35}{60}$. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: $\frac{3}{5}$ einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). $\frac{36}{60}$ derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde).

Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von $\overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow {BE}$ zu $\overrightarrow {AB}$ addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil $\overrightarrow {BE}$ aber auch ein von $\overrightarrow {CD}$ verschiedener Pfeil unserer Ebene.

Dieses Irgendwie und passt schon sollten wir präzieren. Zentraler Punkt dieser Präzisierung sind die Begriffe Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung.

Klasseneinteilungen

Beispiele und Gegenbeispiele

Kleine Bemerkung aus didaktischer Sicht zur Erarbeitung des Begriffs Klasseneinteilung

Die Ausbildung von Lehrern an einer Hochschule oder Universität läuft häufig Gefahr, sich selbst ad absurdum zu führen. Auf der einen Seite fordert man vom zukünftigen Lehrer, dass dieser sich im Praktikum seines didaktischen Know-How's bedienen möge, während man in den eigenen Lehrveranstaltungen den didaktischen Aspekt stark vernachlässigt. Nun wird es rein aus Zeitgründen nicht immer möglich sein, sich in einer Hoschschullehrveranstaltung der Methoden eines Unterricht allgeinbildender Schulen zu bedienen, zumindest exemplarisch sollte es jedoch möglich sein, den stark dozierenden Stil der Hochschullehrveranstaltung zu durchbrechen. Hier und jetzt wollen wir dieses tun: Der Begriff der Klasseneinteilung soll induktiv erarbeitet werden. Hierzu werden wir verschiedene Beispiele und prägnante Gegenbeispiele bezüglich des Begriffes der Klasseneinteilung untersuchen um dann die Idee des Begriffs Klasseneinteilung herauszuarbeiten.

Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung

Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.

Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“

Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht.

Ein Gegenbeispiel für den Begriff der Klasseneinteilung

10 Jahre ist Sportsfreund Holzkugel nun Vorsitzender des örtlichen Kegelvereins. Es waren bewegte 10 Jahre. Vor 5 Jahren gelang ihm das, woran schon viele Vorsitzende des Vereins scheiterten: Die Öffnung des Vereins für den Bowlingsport. Die Gegner des Bowling verwiesen immer wieder auf den Namen des Vereins: "Alle Neune Wilhelmsfeld". Schließlich konnte man sich aber doch auf eine Umbennung in "Gut Holz Wilhelmsfeld" einigen, was die Gründung der Sektion Bowling ermöglichte. Heute gehört $\frac {1}{3}$ aller Mitglieder von "Gut Holz Wilhelmsfeld" sowohl der Sektion Kegeln als auch der Sektion Bowling an. Die beiden Sektionen bilden damit keine Klasseneinteilung des Vereins "Gut Holz Wilhelmsfeld".

Identifizieren von Klasseneinteilungen

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1. Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich nach Ihrer Meinung um eine Klasseneinteilung der angegebenen Grundmenge handelt.

	Einteilung der Menge aller Dreiecke in gleichseitige, gleichschenklige und in Dreiecke bei denen keine zwei Seiten gleichlang sind.
→	Ein gleichseitiges Dreieck ist gleichzeitig ein gleichschenklig.
	Einteilung der Menge aller Vierecke in konvexe und konkave Vierecke.
→	Ein beliebiges Viereck ist entweder konvex oder nicht konvex und damit konkav. Es gibt kein Viereck, das weder konvex noch konkav ist. Die Menge aller Vierecke wird damit in genau zwei Klassen eingeteilt. Die eine Menge ist die Menge aller konvexen Vierecke, die andere Menge ist die Menge aller nicht konvexen und damit konkaven Vierecke.
	Unter $\mathcal{M}$ wollen wir die Menge aller Mengen ohne die leere Menge verstehen. Wir teilen $\mathcal{M}$ nun in unendlich viele Teilmengen ein:$M_1, M_2, M_3, M_4, ... , M_n, ...$, wobei wir unter $M_1$ die Menge aller Mengen mit genau einem Element, unter $M_2$ die Menge aller Mengen mit genau zwei Elementen, unter $M_n$ die Menge aller Mengen mit genau n Elementen etc. verstehen wollen.
→	Jede Menge (außer der leeren Menge) gehört zu genau einer der Teilmengen von $\mathcal{M}$. Alle Teilmengen vereinigt bilden die Menge $\mathcal{M}$.
	Herr Markwitz ist Rektor der Wiesengrund-Hauptschule. Früher war die Wiesengrund-Hauptschule zweizügig. Es gibt damit die Klassen 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b, 9a und 9b. Im Schuljahr 2009/2010 reichte es dann nicht mehr. Eigentlich dürfte es nur die Klasse 5a geben. In diese Klasse gehen auch alle Schüler des entsprechenden Jahrgangs. Um den Fortbestand seiner Schule zu sichern, greift Rektor Markwitz zu einem Trick. Er führt fiktiv die Klasse 5b, die allerdings keine Schüler hat.
→	Das konnten Sie noch nicht wissen: sollen die Teilmengen einer Menge eine Klasseneinteilung der Grundmenge bilden, do darf keine der Teilmengen leer sein. Läßt Herr Markwitz die fiktive Klasse weg, so hat er natürlich wieder eine saubere Einteilung der Menge aller Schüler seiner Schule in Klassen.

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Definition des Begriffs Klasseneinteilung

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$.

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$, wenn

1. notwendige Bedingung 1
2. notwendige Bedingung 2
3. notwendige Bedingung 3

Vorschlag --Maude001

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen eine leere Menge ist.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei der Teilmengen getrennt sind.
3. notwendige Bedingung 3: $K$ die Gesamtheit der Teilmengen von $M$ ist.

Äquivalenzrelationen

Relationen

Beispiele und Gegenbeispiele

1. Halt dich senkrecht
   Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein.
   Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie Gerade $a$ steht senkrecht ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von $a$ bezüglich einer anderen Geraden $b$ (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass $a$ eine Senkrechte ist.
   Die Relation Gerade $a$ steht senkrecht auf Gerade $b$ ist zweistellig.
2. Eine klassische Dreiecksbeziehung
   Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung.
   Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
3. Vater von...
   Thomas ist Vater von Max.

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1. Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine zweistellige Relation handelt

	Eine Ebene $\alpha$ steht senkrecht zu einer Ebene $\beta$.
→	klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
	Der Punkt $B$ liegt zwischen den Punkten $A$ und $C$.
→	dreistellig
	Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
→	Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.

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