Quiz der Woche 15 (SoSe 11)

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1. Ein Student führt indirekte Beweise in der absoluten Geometrie. Dabei verwendet er die nachfolgenden Formulierungen. Kennzeichnen Sie die Aussagen, aus denen eindeutig geschlussfolgert werden kann, dass der jeweils geführte Beweis nicht korrekt ist.

	Widerspruch dazu, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck 180 beträgt, die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung damit bewiesen.
→	Ja, hier haben wir die absolute Geometrie durch Verwendung des Innenwinkelsatzes bereits verlassen.
	Widerspruch zur Behauptung, die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung deshalb bewiesen.
→	Ja was jetzt? Widerspruch zur Behauptung oder Behauptung bewiesen? Beides kann nicht funktionieren.
	Widerspruch zum schwachen Außenwinkelsatz, die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung deshalb bewiesen.
→	So eine Beweisführung kann in der absoluten Geometrie funktionieren, der Beweis könnte also richtig sein.
	...Widerspruch...
→	Auch dieser Beweis könnte stimmen. Man kann zumindest nicht eindeutig schlussfolgern, dass er falsch sei.

2. Welche der folgenden Aussagen lassen sich nicht mit Mitteln der absoluten Geometrie beweisen?

	Zu jeder Geraden $\ g$ und zu jedem nicht auf $\ g$ liegenden Punkt $\ P$ gibt es eine Gerade, die durch $\ P$ verläuft und zu $\ g$ parallel ist.
→	es handelt sich hier um den Satz über die Existenz von Parallelen, der in der absoluten Geometrie bewiesen werden kann.
	Zu jeder Geraden $\ g$ und zu jedem nicht auf $\ g$ liegenden Punkt $\ P$ gibt es genau eine Gerade, die durch $\ P$ verläuft und zu $\ g$ parallel ist.
→	richtig, in dieser Aussage steckt die Eindeutigkeit einer Parallelen mit drin. Das ist in der absoluten Geometrie nicht mehr zu beweisen.
	Zu jeder Geraden $\ g$ und zu jedem nicht auf $\ g$ liegenden Punkt $\ P$ gibt es höchstens eine Gerade, die durch $\ P$ verläuft und zu $\ g$ parallel ist.
→	So, jetzt haben wir es mit dem Parallelenaxiom zu tun. Das ist bekanntlich überhaupt nicht beweisbar und in der Euklidischen Geometrie angesiedelt.
	Freie Schenkel an kongruenten Wechselwinkel sind parallel.
→	Ja super, hier handelt es sich um die Formulierung der Umkehrung des Wechselwinkelsatzes und der ist in der absoluten Geometrie beweisbar.
	Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
→	Für den Beweis des Wechselwinkelsatzes, der hier formuliert wurde, bedarf es des Parallelenaxioms und das gehört in die Euklidische Geometrie.

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Bei der Frage mit den Parallen: Warum ist die 1. Aussage falsch und die 2. richtig? Worin unterscheiden sich diese Aussagen? --Flo 21 17:39, 22. Jan. 2011 (UTC)

Frage 1. lässt sich in der absoluten Geometrie zeigen (Satz über Existenz der Parallelen). In Frage 2 ist die Existenz und die Eindeutigkeit gefragt. Zur Eindeutigkeit benötigen wir aber das Parallelenaxiom somit die Euklidischen Geometrie! --Vollyschwamm 23:24, 25. Jul. 2011 (CEST)