Lösung von Aufgabe 13.2

Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = \angle CBA$, $\beta = \angle CBA$ und $\gamma = \angle ACB$.
Es gilt $\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180$.

Versuch 1

VSS: Dreieck $\overline{ABC}$, mit Innenwinkel $\alpha = \angle BAC$, $\beta = \angle CBA$ und $\gamma = \angle ACB$
Beh: $\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exist d: C \in d, d\|AB$	(Euklidisches Parallelenaxiom)
(II)	$\beta \$ und $\beta' \$ sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(III)	$\alpha \$ und $\alpha' \$ sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(IV)	$\gamma \$ und $\gamma' \$ sind Scheitelwinkel	(I), (Def. Scheitelwinkel)
(V)	$\alpha \cong \alpha^{'}$, $\beta \cong \beta^{'}$	(I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
(VI)	$\gamma \cong \gamma^{'}$	(I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
(VII)	$\ |\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180$	(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(VIII)	$\ |\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180$	(VII), (V), (VI)

-> Beh. wahr qed
--Löwenzahn 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)

Zum Thema EP

Kommentar --*m.g.* 07:07, 19. Jul. 2010 (UTC): Ich bin mal ganz pingelig. EP sagt aus, dass es durch einen nicht zu $g$ gehörenden Punkt $P$ höchstens eine Gerade $h$ geben kann, die zu $g$ parallel ist. Kann man Schritt (I) wirklich mit EP begründen? Wo kommt EP zum Tragen?

Vorschlag--Heinzvaneugen 08:13, 20. Jul. 2010 (UTC): Über diesen Zusammenhang (die Frage: wozu das EP) haben wir in einer Lerngruppe schon einige Male gesprochen. Ein Vorschlag: das EP braucht man für die EINDEUTIGKEIT von Parallelen - die kann man ohne EP nicht beweisen. Die EXISTENZ von Parallelen kann man allerdings ohne das EP beweisen, das wurde via Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bewiesen.
Was hat das mit der Fragestellung zu tun? Wenn man im ersten Schritt behauptet: "es existiert eine Parallele", so kann das mit der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes belegt werden. Man müsste sagen: es existiert eine und zwar höchstens eine Parallele und das wird durch die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und das EP bewiesen. Stimmt das so?

Überlegung --Löwenzahn 15:35, 20. Jul. 2010 (UTC): Müsste man dann Schritt (I) mit der Existenz von Parallelen und dem EP begründen? Das EP ist in der Innenwinkelsumme nur wichtig, dass es eben nur eine Parallele gibt... hab ich das so richtig verstanden?

Re: --Heinzvaneugen 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC): Fast. Man müsste mit der EINDEUTIGKEIT der Parallelen, die das EP aussagt (höchstens) belegen, dass $\ d$ DIE EINZIGE Parallele zu $\ AB$ durch $\ C$ ist. $\exist d: C \in d, d\|AB$ geht, die Begründung sagt aber an, dass man das anders "sprechen" muss: es existiert GENAU EINE Parallele usw. Ganz ordentlich müsste man die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes nennen, mit der die EXISTENZ einer Parallelen (...es gibt mindestens eine Parallele...) bewiesen werden kann.

Ich würd's nicht komplizierter machen, als es ist. Da wir die Existenz einer Parallelen ja bewiesen haben, würde ich (wenn nicht ausdrücklich gefragt) auch keinen Schritt weiter zurück gehen. Meine Begründung für Schritt eins wäre also: Satz über die Existenz von Parallelen und das EP. Was meint ihr? --Barbarossa 14:35, 24. Jul. 2010 (UTC)

Sind DREI "Neben-" Winkel supplementär?

Und wir haben noch ein Problem: So wie wir Nebenwinkel definiert haben, sprechen wir immer nur von zwei Winkeln, nicht von dreien. Zwei Winkel sind supplementär, wenn sie zusammen 180° ergeben. Sind auch drei Winkel supplementär? Und das gleiche Problem habe ich mit den Scheitel- und Wechselwinkeln. Ich habe den Beweis genauso geführt wie Löwenzahn, aber sicher bin ich da nicht. --Nicola 12:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Re: Die Begründung ist problematisch, das kann besser mit Winkeladdition erklärt werden. Oder? --Heinzvaneugen 19:13, 23. Jul. 2010 (UTC)

Ich habe mit dem Winkeladditionsaxiom sozusagen zwei der Winkel zusammen gefasst. Dann hat man nur noch zwei Winkel, die zueinander Nebenwinkel sind, ein Fall für's Supplementaxiom. --Barbarossa 14:38, 24. Jul. 2010 (UTC)

Weitere Fragen

Habe den Beweis auch so! Stimmt das jetzt oder muss man <ACB so aufteilen, dass zwei rechte Winkel entstehen??!? Bitte um Hilfe der Dozenten!!!!!

Anmerkung

Etwas vereinfacht wäre es, wenn wir nicht die Stufenwinkel sondern die Wechselwinkel nehmen würden, und dann sozusagen auf der Unterseite der parallelen arbeiteten.
Zu der EP-Diskussion:
Ich denke es genüt Def.X.3 (Existenz von Parallelen) aufzuführen, um den Beweis zu führen. Wozu sollten wir die Eindeutigkeit brauchen? Wir brauchen ja nur eine Gerade die Parallel verläuft, dass wir unsere Wechselwinkelsätze bzw. Stufenwinkelsätze anwenden können.

Das Problem mit den Nebenwinkeln würde ich wie folgt klären: Ich nehme mir 2 Winkel davon und fasse sie mit dem Winkeladditionsaxiom zusammen (es gilt dann noch zu begründen, warum der Innere Strahl auch im inneren liegt). Anschließend kann ich dann mit dem 3. Winkel und dem zusammengefassten Winkel über Nebenwinkel argumentieren. Anschließen drösle ich den zusammengefassten Winkel wieder auf... Fertig.
Beim Wechselwinkelsatz/Stufenwinkelsatz dürfte es aber keine Probleme Geben, da ich mir ja immer nur die 2 Geraden herausnehme, auf die ich mich beziehe.

--TheGeosi 12:53, 24. Jul. 2010 (UTC)

Tja, da habe ich mal wieder die Seite nicht bis zum Schluß gelesen, bevor ich meinen Kommentar abgegeben habe. Aber es ist ja zumindest beruhigend, wenn vorher schon jemand auf die Gleiche Lösung gekommen ist (bezüglich der Nebenwinkel).
Allerdings muss ich dir, TheGeosi, in Sachen EP-Diskussion widersprechen: ohne das EP konnten wir nur mit den Umkehrungen des Wechsel- und des Stufenwinkelsatzes arbeiten. Für den Beweis des Wechsel- und des Stufenwinkelsatzes selbst haben wir dann das EP gebraucht. Deshalb muss es auch hier unbedingt in die Beweisschrittbegründung mit hinein! --Barbarossa 14:46, 24. Jul. 2010 (UTC)