12)

Es seien $\beta_1$ und $\beta_2$ zwei Bewegungen.

zu zeigen:

$\beta_2 \circ \beta_1$ ist eine Bewegung.

Nach Definiton ist eine Bewegung eine Abbildung der Ebene auf sich mit speziellen Eigenschaften, die jetzt aber egal sind. Demzufolge existiert eine Ebene (die existiert nach den Inzidenzaxiomen sowieso).

$\epsilon \rightarrow \beta_1(\epsilon_1 )$ nach Voraussetzung

$\epsilon_1 \rightarrow \beta_2(\epsilon_2 )$ Voraussetzung und vorheriger Ausführung.

Da es für jede Nacheinanderausführung (bzw. für jede Gruppe) ein Einselement gibt, folgt hier eindeutig, dass auch $\epsilon \rightarrow \epsilon_2$ eine Bewegung ist. --Flo60 21:42, 24. Okt. 2011 (CEST)