Serie 03

Aufgabe 3.1

(alles in ein und derselben Ebene) Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$. Ferner sei $g$ eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei $Z$ der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in $M$ auf $g$ mit $k$. Wir definieren eine Abbildung $\varphi$ von $k\setminus_Z$ auf $g$: $\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g$. Ist $\varphi$ fixpunktfrei?

Aufgabe 3.2

Es sei $X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}$. Wir definieren auf $X$ die folgende Abbildung $\varphi$: $\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)$. Jedes Element des $\mathbb{R}^2$ fassen wir als Punkt auf. Hat $\varphi$ Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)

Aufgabe 3.3

Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms $B$ mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel $P$hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten $\left(x_p, y_p\right)$. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms $B$ die folgende Abbildung $\varphi$: $\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $\varphi$ einen Fixpunkt hat?

Aufgabe 3.4

Beweisen Sie: wenn eine Bewegung $\varphi$ zwei verschiedene Fixpunkte $A$ und $B$ hat, dann hat ist die Gerade $AB$ eine Fixpunktgerade bezüglich $\varphi$.

Aufgabe 3.5

Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte $A,B,C$ Fixpunkte der Bewegung $\varphi$ sind, so ist $\varphi$ die identische Abbildung.