Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen
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Drei nicht kollineare Punkte reichen aus
Satz:
- Jede Bewegung ist durch drei nicht kollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.
Der Reduktionssatz
Satz: Reduktionssatz
- Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen.
Beweis
Es seien drei nicht kollineare Punkte und
eine Bewegung.
seien die Bilder von
bei
Fall 1
Fall 2
o.B.d.A.
Wo muss C`liegen
muss auf dem Kreis um
durch
liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.
muss auf dem Kreis um
durch
liegen.
Begründung: Bewegungen sind abstandserhaltend.
liegt damit in der Schnittmenge der beiden Kreise.
Warum wird
durch eine Spiegelung an
auf
abgebildet?
Es genügt zu zeigen, dass die Mittelsenkrechte von
ist.
ist die Mittelsenkrechte von
weil
und
.
Fall 3
o.B.d.A.
Fall 4