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Definition: (Verschiebung als NAF zweier Geradenspiegelungen)

Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_b \circ S_a$ mit $a || b$ heißt Verschiebung.

Eigenschaften von Verschiebungen

Die identische Abbildung als Verschiebung

Satz: ($\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung.

Wenn $a||b$ dann $V=\operatorname{id}$.

Beweis ($\operatorname{id}$ als Verschiebung)

Folgt unmittelbar daraus, dass jede Geradenspiegelung selbstinvers ist.

Bringen Sie die beiden Spiegelgeraden miteinander zur Deckung.

Parallelität

Satz: (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung. Für jede Gerade $g$ und ihr Bild $g'$ bei $V$ gilt: $g||g'$.

Beweis (Parallelität bei Geradenspiegelungen)

Es sei $V=S_ \circ S_a$ eine Verschiebung ($a||b$. Ferner sei $g$ eine beliebige Gerade.

zu zeigen: $S_b \left( S_a \left(g\right) \right)=g' || g$

=====Fall 1 $g \cap a = \{S\}$=====

Verschiebungsweite

Satz: (über die Verschiebungsweite)

Es sei $V=S_b \circ S_a$ eine Verschiebung $V$. Für jedes Paar (Originalpunkt $P$, Bildpunkt$P'$ bei $V$) gilt: $|PP'| = 2|ab|$.