Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen

Allgemeine lineare Gleichung ax + by + cz = d $\begin{align} ax+by+cz=d \\ a, b, c, d \in \mathbb{R} \\ x, y, z \in \mathbb{R}, \end{align}$ Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d Gerade? Es seien $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ , beliebig aber fest, $a, b, c$ nicht gleichzeitig $0$, $x,y,z \in \mathbb{R}$, variabel. Wir untersuchen die Gleichung $ax+by+cz=d$ Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ $ax+by=c$ ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im $\mathbb{R}^2$ interpretieren. Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung $ax+by+cz=d$ alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum $\mathbb{R}^3$ zu interpretieren. Dem ist aber nicht so: Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0 Sei etwa nur der Koeffizient $a$ verschieden von $0$. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu $ax=d$. Umgestellt nach $x$ ergibt sich $x=\frac{d}{a}$. Alle geordneten Tripel $\left (\frac{d}{a}, y, z \right )$ aus dem $\mathbb{R}^3$ genügen damit unserer Gleichung. Unklar? Wir können die Gleichung auch als $ax+0y+0z=d$ bzw. $x + 0y + 0z = \frac{d}{a}$ schreiben. Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene $\varepsilon$ interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist: Die Lösungsmenge der Gleichung $2x + 0y+ 0z = 3$ sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur $y-z-$Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten $\left ( \frac{3}{2} \right )$ geht. Die Lösungsmenge der Gleichung $0x +\frac{3}{7}y + 0z= \frac{5}{3}$ sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur $x-z-$Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten $\left ( 0, \frac{35}{9} \right )$ geht. Die Lösungsmenge der Gleichung $0x + 0y + \pi z = 0$ ist die $x-y-$Ebene. Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0 Beispiel 1 $z=0$, $a=2$, $c=\frac{3}{5}$, $d=1$ Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel $2x+\frac{3}{5}y+0z=1$ Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem: $2x+\frac{3}{5}y=1$ Die Lösungsmenge dieser vereinfachten Gleichung ist eine Gerade in der $x-y-$Ebene. Im konkreten Fall handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung $2x+\frac{3}{5}y=1$ bzw. mit der Gleichung $y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}$. Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung $2x+\frac{3}{5}y+0z=1$ ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der $x-y-$Ebene steht und mit der $x-y-$Ebene die Gerade $y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}$ gemeinsam hat. Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0 Ebene! Satz: Die Gleichung (II) $ax+by+cz=d$ beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im $\mathbb{R}^3$.