Aufgabe 10.05
Beweisen Sie: Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis.
Lösung
Existenz
Es sei ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Zunächst schneiden sich die Mittelsenkrechten und im Punkt . (Wären sie parallel, müssten auch und parallel sein und wäre kein Dreieck.) Nach den Eigenschaften von Mittelsenkrechten gilt: und . Nach der Tarnsitivität der Gleicheitsrelation gilt nun: . Nach dem Mittelsenkrechtenkriterium geht jetzt auch durch . Der Kreis um durch ist nun der gesuchte Umkreis.
--*m.g.* 23:59, 18. Jul. 2013 (CEST)
Eindeutigkeit
Indirekt mit Widerspruch.--*m.g.* 00:02, 19. Jul. 2013 (CEST)
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