Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe 14)

a) Gegeben seien drei paarweise verschiedene und nichtkollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$

b) Was hat Aufgabe 6.5 mit Aufgabe 5.4 zu tun?

a) Direkter Beweis:

Vor. $\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\$

Beh.: $\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$

Nr.	Schritt	Begruendung
1	$\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \$	Voraussetzung
2.	Punkte A und B sind auf der selben Halbebene	1), Def. Halbebene
3.	$\overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \$	Voraussetzung
4.	Punkte B und C sind auf der selben Halbebene	3), Def. Halbebene
5.	Punkte A und C sind auf der selben Halbebene, wie der Punkt B. Das heisst Punkte A und C sind auf der selben Halbebene.	2), 4)
6.	Wenn alle drei Punkte auf der selben Halbebene sind, dann schneidet weder die Strecke AB, noch BC, noch AC die Gerade g.	Schlussfolgerung aus 5)

Man koennte auch durch die Kontraposition Beweisen, das haben wir allerdings in der Vorlesung gemacht, als wir den Satz von Pasch bewiesen haben.

Danke für den sehr ordentlichen Beitrag. Wirklich super, Picksel!Ich würde ergänzen, von welcher Halbebenen du sprichst. Es handelt sich um die Halbebene (z.B.) $gA^+$. Dann beziehst du Schritt 4 auch auf diese Halbebene. In Schritt 5) hast du richtig gefolgert, dass A und C in der selben Halbebene liegen. In Schritt 6) genügt es zu schreiben, dass aus 5)und der Definition Halbebene folgt, dass $\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$ . Damit ist der Beweis vollständig. --Tutorin Anne (Diskussion) 20:25, 18. Jun. 2014 (CEST)

b) Damit haben wir die Transitivitaet bewiesen.--Picksel (Diskussion) 21:03, 15. Jun. 2014 (CEST)

so ist es!--Tutorin Anne (Diskussion) 20:25, 18. Jun. 2014 (CEST)