Lösung von Aufgabe 12.02 WS 12 13

Aufgabe 12.02 Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dass sich zwei Mittelsenkrechten eines Dreieck in genau einem Punkt schneiden dürfen Sie voraussetzen. Lösung User ... --Yellow 21:12, 26. Jan. 2013 (CET) Hallo ich bin mir nicht sicher ob wir hier sagen dürfen dass S=Mittelpunkt ist. Aber kann man ja mit Mittelsenkrchtenkriterium begründen Lösung User Caro44 --Caro44 13:16, 30. Jan. 2013 (CET) Frage Hauler Stimmen mit Lösung von Caro44 überein. Frage die aufkam: Wann nimmt man die Definition, wann nimmt man die Existenz und Eindeutigkeit ( in diesem Fall Mittelpunkt, Mittelsenkrechte), wann nimmt das Kriterium als Begründung? Gedanken von uns: Im Beweis benutzen wir Definition nur, wenn Existenz und Eindeutigkeit bewiesen wurde. Kann man sich somit Existenz und Eindeutigkeit sparen und immer Definition schreiben? Weiter folgend kam diese Frage auch bei Definition oder Kriterium Mittelsenkrecht auf. Kriterium setzt sich ja aus beiden Definitionen zusammen! --Hauleri 15:32, 30. Jan. 2013 (CET) Bemerkungen --*m.g.* 16:25, 30. Jan. 2013 (CET) Die Lösung von Yellow geht so nicht. Die Lösung von Caro44 ist verbesserungsbedürftig. Wovon können wir ausgehen? Wir haben ein Dreieck $\overline{ABC}$ und irgendwer hat schon gezeigt, dass die Mittelsenkrechten $m_a$ und $m_b$ einander im Punkt $M$ schneiden. Wir sollen jetzt zeigen, dass auch die dritte Mittelsenkrechte durch eben diesen Punkt geht. Dass jede Strecke genau eine Mittelsenkrechte hat, wissen wir bereits. Was sollen wir zeigen Behauptet wird, dass sich alle drei Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Zunächst zeiegen wir, dass sie sich in einem Punkt schneiden. Hierzu zeigen wir, dass auch die dritte Mittelsenkrechte $m_c$ durch $M$ geht. Wir müssen definitiv nicht zeigen, dass irgendeine Mittelsenkrechte überhaupt existiert. Wir müssen zeigen, dass die existierende Mittelsenkrechte $m_c$ auch durch $M$ geht. Anders ausgedrückt: Wir müssen zeigen, dass $M$ zu $m_c$ gehört. Wie zeigen wir das Weil $m_a$ Mittelsenkrechte von $a$ bzw. $\overline{BC}$ ist und $M$ zu $m_a$ gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: $|BM|=|CM|$ Weil $m_b$ Mittelsenkrechte von $b$ bzw. $\overline{AC}$ ist und $M$ zu $m_b$ gehört, gilt wegen dem Mittelsenkrechtenkriterium: $|AM|=|CM|$ Nach (1) und (2) ist wegen der Drittengleichheit ist nun $|AM|=|BM|$ und damit $M$ wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums ein Punkt der Mittelsenkrechten von $c$. Was bleibt zu zeigen? Wir sollten zeigen dass sich die Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Es bleibt also zu zeigen, dass $M$ der einzige Punkt aller drei Mittelsenkrechten ist. Wie fast immer, der Highlanderbeweis wird indirekt geführt Annahme: Es existiert ein von $M$ verschiedener Punkt $N$ der zu allen drei Mittelsenkrechten gehört. Nach der Annahme wären alle unsere Mittelsenkrechten identisch. Warum? ................. Jetzt ergibt sich folgender Widerspruch: ....... Wenn M und N nicht identisch sind, dann gibt es zu diesen beiden Punkten genau eine Gerade. Entweder sind M und N identisch oder es wäre ein Widerspruch zu Axiom I.1 --Yellow 20:33, 30. Jan. 2013 (CET) Versuch Hauler Gerade Verhalten sich so zueinander: 1) Sie sind windschief/parallel nicht identisch --> keinen Schnittpunkt 2)Sie schneiden sich --> GENAU einen Schnittpunkt 3)Sie sind identisch --> haben alle Punkte gemeinsam Daraus folgt, dass sich in unserem Fall, auch 3 Geraden nur in einem Punkt schneiden können. Oben aufgeführte 3 Möglichkeiten führen 1 und 3 zum Wiederspruch zur Vorraussetzung Schnittpunkt S und sind somit zu verwerfen. --Hauleri 17:12, 30. Jan. 2013 (CET) Hilfe --*m.g.* 18:03, 30. Jan. 2013 (CET) Alles spielt sich in einer Ebene ab (Dreieck). Denken Sie daran, dass es um Mittelsenkrechte geht. Alle drei Mittelsenkrechten wären ein und dieselbe Gerade. Wegen senkrecht auf AB, senkrecht auf AC, senkrecht auf BC wären die Geraden nach umkehrung Stufenwinkelsatz parallel. sie haben aber auch Punkte gemeinsam ...