Lösung von Aufgabe 4.2 (SoSe 18)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Lösung a: Beweiß 1, weil Beweiß 2 die Umkehrung und den Basiswinkelsatz nochmal erläutert. Diese sind jedoch bereits bewiesen und somit gültig.

schauen Sie sich nochmal die Logik des 1. Beweises an, ist dieser schlüssig?--Schnirch (Diskussion) 10:54, 9. Mai 2018 (CEST)

Lösung b: Voraussetzung:
Behauptung:
Annahme: Alpha und Beta sind gleich.
Beweisschritte: Begründung:
1) Alpha und Beta sind gleich |Annahme
2) Nach dem Basiswinkelsatz sind sie nicht gleich. |Siehe Aufgabenstellung
3) Widerspruch zu Annahme |2)
4) Behauptung stimmt |3)

/goldxyz/

Bei Schritt 2) berufen Sie sich auf den Basiswinkelsatz. Ist das wirklich die Aussage des Basiswinkelsatzes? --Schnirch (Diskussion) 10:54, 9. Mai 2018 (CEST)