Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13)

1. Gegeben sei ein Winkel $\angle ABC$ und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\angle ABC$ liegt. Konstruieren Sie eine Strecke $\overline{DE}$ deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels $\angle ABC$ liegen und P Mittelpunkt der Strecke $\overline{DE}$ ist.
2. Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.
   

1) Konstruktion

Zeichne einen Strahl $\ BA^{+}$ . Zeichne einen weiteren, von $\ BA^{+}$ verschiedenen Strahl, $\ BC^{+}$ mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie $\ BA^{+}$ . Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius $r=\left| \overline{BD} \right|=\left| \overline{BE} \right|, r>0$ . Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: $\left\{ {M} \right\}= \ p \cap l \neq B$. Zeichne nun den Strahl $\ BM^{+}$ . Zeichne die Strecke $\overline{DE}$ ein, mit der folgenden Bedingung: $\left\{ {P} \right\} =\ \overline{DE}\ \cap \ BM^{+}$ und $\left| DP \right| \ =\ \left| PE \right|$ .--Nolessonlearned 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST)

• Deine Konstruktion ist sehr gut beschrieben und super nachvollziehbar - aber leider nicht die Lösung. Gegeben ist der Punkt P und der Winkel. Bei dir ist P das Endprodukt. --Tutorin Anne 11:37, 16. Jul. 2013 (CEST)
  
  • Nun ist ist das Resultat die Strecke DE.--Nolessonlearned 17:09, 16. Jul. 2013 (CEST)
    

• • Das löst das Problem nicht, der Punkt P ist Voraussetzung und dieser liegt nicht unbedingt auf der Winkelhalbierenden. Gesucht ist die Strecke DE, wobei die Endpunkte nicht den selben Abstand von B haben müssen.--Tutorin Anne 07:36, 17. Jul. 2013 (CEST)
    
    • Dachte, da in der Aufgabenstellung steht, dass P in der Mitte der Strecke DE liegen muss, dass P ein Element der Winkelhalbierenden sein muss. Hast du einen Tipp für einen neuen Beweisansatz?--Nolessonlearned 07:07, 18. Jul. 2013 (CEST)
      
      

2) Beweis

• Dein Beweis ist leider hinfällig, da die Konstruktion nicht der Aufgabenstellung entspricht.--Tutorin Anne 11:38, 16. Jul. 2013 (CEST)
  
  • Ich befürchte, dass ich eine falsche Voraussetzung gewählt habe.--Nolessonlearned 17:18, 16. Jul. 2013 (CEST)
    

Voraussetzung:
D͞E entspricht {D} = BC+ ∩ k und {E} = BA+ ∩ k
mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}

{M} = p ∩ l ≠ B
mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ}

{P} = D͞E ∩ BM+ und BM+ senkrecht D͞E
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
Behauptung:
D͞E mit dem Mittelpunkt P
--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	{P} = D͞E ∩ BM+ und BM+ senkrecht D͞E	Voraussetzung, Konstruktion Mittelsenkrechte
2)	BD| = |BE|	Voraussetzung; Mittelsenkrechtenkriterium
3)	DP| = |PE|	(1); (2); Def. Mittelsenkrechte
4)	D͞E mit P als Mittelpunkt	(1); (3); Def. Mittelsenkrechte

--Nolessonlearned 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)

Tipp für einen korrekten Beweis

1)Da D und E den selben Abstand von P haben müssen, können diese Punkte durch eine Punktspiegelung des Winkels an P gefunden werdene. 2) Begründet werden kann die Konstruktion dann mit der Eigenschaft des Viereckes, dass ich durch den Winkel < ABC und dessen Spiegelbild erzeugt habe.--Tutorin Anne 10:54, 19. Jul. 2013 (CEST)

• Oh Mann, da war ich aber total auf dem Holzweg.--Nolessonlearned 21:49, 18. Jul. 2013 (CEST)