Sätze
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Sätze
Satz I.1:
- Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)
- Es seien g und h zwei Geraden.
- Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.
Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)
- Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
Satz I.5:
- Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
Satz I.6:
- Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.7:
- Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
Satz II.1:
- Aus
folgt
.
Satz II.2:
- Aus
folgt
.
Satz II.3:
- Es sei
mit
sind paarweise verschieden.
Dann giltoder
oder
.
Satz II.4:
- Es sei
ein Punkt einer Geraden
.
Die Teilmengen,
und
bilden eine Klasseneinteilung der Geraden
.
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
- Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit)
- Wenn
ein Punkt der Halbebene
ist, dann gilt
und
.
Satz IV.2:
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Satz IV.3:
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Satz V.1:
- Das Innere eines Winkels ist konvex.
Satz V.2:
- Wenn der Punkt
im Inneren des Winkels
und nicht auf einem der Schenkel des Winkels
liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel
und
jeweils kleiner als die Größe des Winkels
.
Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln)
- Es gibt rechte Winkel.
Satz V.4:
- Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt)
- Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.
oder
- Es sei
eine Gerade der Ebene
. Ferner sei
ein Punkt auf
. In der Ebene
gibt es genau eine Gerade
, die durch
geht und senkrecht auf
steht.
Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)
- Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Satz VI.
:
- Es sei
die Winkelhalbierende des Winkels
. Dann gilt
.
- Es sei
Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)
- Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
Satz VII.1:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.
Satz VII.2:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.
Satz VII.3:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.
Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)
- Wenn für zwei Dreiecke
und
die folgenden 3 Kongruenzen
- Wenn für zwei Dreiecke
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke
und
kongruent zueinander.
Satz VII.5: (Basiswinkelsatz)
- In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Lemma 1:
- Die Winkelhalbierende
eines Winkels
schneidet die Strecke
in genau einem Punkt
.
- Die Winkelhalbierende
Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
- Eine Menge
von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke
, wenn für jeden Punkt
gilt:
.
- Eine Menge
Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von
gehört.)
- Wenn ein Punkt
zu den Endpunkten der Strecke
jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von
.
- Wenn ein Punkt
Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von
gehört)
- Wenn ein Punkt
zur Mittelsenkrechten der Strecke
gehört, dann hat er zu den Punkten
und
ein und denselben Abstand.
- Wenn ein Punkt
Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz)
- Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.
Lemma 2:
- Wenn ein Punkt
im Inneren des Winkels
liegt, dann liegt der gesamte Strahl
im Inneren des Winkels
.
- Wenn ein Punkt