Sätze und Beweise SoSe 13

Implikationen

Wechselwinkelsatz:
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen parallelen Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine Voraussetzung (A) und eine Behauptung (B) aufteilen.
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein.
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun:
formal: $\ A \Rightarrow B$

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung:
formal:$\ B \Rightarrow A$

Aufgabe: Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:

• Wechselwinkel sind kongruent zueinander, wenn sie an geschnittenen parallelen Geraden betrachtet werden.--Nolessonlearned 16:17, 6. Mai 2013 (CEST)
  • Du hast zwar Satzteile vertauscht, inhaltlich sagst du aber das genau gleiche aus. Damit ist das eine andere Formulierung für den Wechselwinkelsatz, nicht aber die Umkehrung.--Tutorin Anne 19:09, 8. Mai 2013 (CEST)
    
    • Dachte, dass es bei der Umkehrung genau darauf ankommt. Weil A => B, B => A. Bräuchte definitiv eine weitere Hilfestellung um zu verstehen.--Nolessonlearned 20:52, 8. Mai 2013 (CEST)
      
      • Wenn es regnet, nehme ich einen Regenschirm mit. Umkehrung: Wenn ich einen Schirm mit nehme, regnet es. Die zwei Sätze sagen etwas anderes aus, denn ich bin ja nicht Petrus :) Hilft dir das Beispiel weiter?--Tutorin Anne 21:59, 11. Mai 2013 (CEST)
        
        • Ok. Neuer Versuch: Winkel sind kongruent zueinander, wenn es sich um Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen handelt.(Denke das dies noch nicht ganz korrekt ist, da es auch kongruente Winkel gibt, die keine Wechselwinkel sind)--Nolessonlearned 11:50, 13. Mai 2013 (CEST)
          
        • Oder: Sind Winkel kongruent zueinander und befinden sich an geschnittenen Parallelen, dann handelt es sich um Wechselwinkel. (Denke dies ist eine korrekte Umkehrung)--Nolessonlearned 11:55, 13. Mai 2013 (CEST)
          
        • Richtig, der erste Satz ist keine Umkehrung, aber auch der zweite stimmt so nicht. Überlegt euch erst mal was genau Voraussetzung und was Behauptung ist (und beim Stufen- und Wechselwinkelsatz gibt es noch eine Art allgemeine Voraussetzung - siehe Übung 2). Wer macht noch einen anderen Vorschlag?--Tutorin Anne 21:37, 13. Mai 2013 (CEST)
          
          • Brauche hier noch eine weitere Hilfestellung.--Nolessonlearned 08:53, 14. Mai 2013 (CEST)
            
          • Vor: Wechselwinkel sind kongruent (A); Beh: Winkel liegen an geschnittenen Parallelen an.--Nolessonlearned 08:58, 14. Mai 2013 (CEST)
            
            • Ja, die stimmen.--Tutorin Anne 14:25, 15. Mai 2013 (CEST)
              
              • Ok. Neuer Versuch: Werden zwei parallele Geraden von einer weiteren Gerade in jeweils einem Punkt geschnitten, dann entstehen kongruente Wechselwinkel.--Nolessonlearned 16:44, 15. Mai 2013 (CEST)
                
              • Ok. So würde ich es als richtig anerkennen :)--Tutorin Anne 09:56, 23. Mai 2013 (CEST)
              • Stimmt aber immernoch nicht, weil die Voraussetzung immernoch die geschnittenen Parallelen sind. Die neue Voraussetzung müssten aber die kongruenten Winkel sein: Wenn Wechselwinkel kongruent sind,... Neue Behauptung sind dann die geschnittenen Parallelen: ...dann liegen sie an geschnittenen Parallelen. => wahre Aussage, d.h. der Wechselwinkelsatz ist eine Äquivalenz. (von Ecksteim)
                
              • Danke Ecksteim, du hast absolut recht.--Tutorin Anne 14:25, 16. Jul. 2013 (CEST)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: $\ A \Leftrightarrow B$

Aufgabe: Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:

• Wechselwinkel sind genau dann kongruent zueinander, wenn sie an parallelen Geraden betrachtet werden.--Nolessonlearned 16:24, 6. Mai 2013 (CEST)
  
  • Das Wort "betrachtet" klingt komisch, allerdings ist das jetzt keine gute Begründung. Aber wie könnte man es noch sagen?--Tutorin Anne 21:37, 13. Mai 2013 (CEST)
    
    • Wechselwinkel sind genau dann kongruent einander, wenn sie an parallelen Geraden anliegen. --Nolessonlearned 08:53, 14. Mai 2013 (CEST)
      
      • ja, ich denke das passt. Ich würde es ohne an scheiben. nur "an parallelen Graden liegen".

Allgemein denke ich, dass es für die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes und die Äquivalenz einfacher ist, wenn man zunächst in einem Satz schreibe, was man alles für seinen Satz an Dingen braucht. Z.B. Es seien a und b zwei Geraden, die von einer dritten Gerade c in je einem Punkt geschnitten werden. $\alpha$ und $\beta$ seien zwei Wechselwinkel, die bei diesem Schnitt entstehen.--Tutorin Anne 14:33, 15. Mai 2013 (CEST)

notwendige und hinreichende Bedingung

An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: hinreichende und notwendige Bedingung
Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern:
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell.
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)$\Rightarrow$ Behauptung (Das Zimmer ist hell).
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell.
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu.
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Man spricht in diesem Zusammenhang dann auch von einem Kriterium (hinreichende und notwendige Bedingung). Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Voraussetzung.
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren.

Beweise

Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.
Grundsätzlich unterscheidet man direkte von indirekten Beweisen. Außerdem gibt es noch so genannte Induktionsbeweise (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip).

Direkter Beweis
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.:
$\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B$

Indirekter Beweis
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man Widerspruchsbeweise (1) von Beweisen durch Kontraposition (2).

1. Widerspruchsbeweis:
   Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz).
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
2. Beweis durch Kontraposition:
   Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus:
   $\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)$
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
   Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen.
   
   

Aufgabe: Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.

• (Lösungsvorschläge)