Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (WS 12 13)

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel Zeichnen Sie Bespiele und Gegenbeispiele zu den in der Überschrift genannten Begriffen und laden Sie Ihre Zeichnungen hier mit entsprechenden Kommentaren hoch. Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\ \alpha$ und $\ \beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $\ c$ mit $\ a$ und $\ b$ entstehen mögen. Wenn die beiden Stufenwinkel $\ \alpha$ und $\ \beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $\ a$ und $\ b$ parallel zueinander. Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) Es seien $\ a, b$ und $\ c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $\ c$ möge $\ a$ in dem Punkt$\ A$ und die Gerade $\ b$ in dem Punkt $\ B$ schneiden. $\ \alpha$ und $\ \beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von $\ a$ und $\ b$ mit $\ c$ entstehen möge. Voraussetzung: (i) $\ \alpha \tilde {=}\beta$ Behauptung: $\ a \parallel b$ Annahme: $a\not\parallel b$ Den Rest können Sie selbst! Beweisführung Caro44 --Caro44 14:57, 24. Jan. 2013 (CET) Bemerkung --*m.g.* 17:34, 24. Jan. 2013 (CET) sehr gut! Nur für ganz Pingelige: so wie (7) formuliert wurde handelt es sich nicht explizit um eine Gleichung. Hinter (7) verbirgt sich jedoch eine Gleichung: $|\beta|=|\angle SBA|$. Ok, danke! Stimmt bei Schritt 2 die Begründung Satz I.1 ?--Caro44 20:33, 24. Jan. 2013 (CET) Hatte ich gar nicht so drauf geachtet. Satz I.1 hilft Ihnen nicht, denn er schließt nicht aus, dass kein Schnittpunkt vorhanden ist. Sie brauchen aber auch gar keinen Satz: Sie nehmen an, dass die beiden Geraden nicht parallel sind. Nicht parallel sein bedeutet für unsere Geraden nicht keinen Schnittpunkt zu haben, also kurz sie haben einen Schnittpunkt. Formulieren Sie Schritt (2) besser als: Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Geraden. Begründung: Sie sind nicht parallel nach (1). Wenn Sie es ganz genau haben wollen formulieren Sie noch, dass sich alles in ein und derselben Ebene abspielen muss.--*m.g.* 23:18, 24. Jan. 2013 (CET) Weitere Beweisführung Probieren Sie es auch für den Fall, dass sich die Geraden auf der anderen Seite von $c$ schneiden, wird noch einfacher. --*m.g.* 23:20, 24. Jan. 2013 (CET)