Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel SoSe 19
Inhaltsverzeichnis |
Das Winkelmaß
Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?
Länge einer Strecke | Größe eines Winkels |
nichtnegative reelle Zahl | reelle Zahl zwischen 0 und 180 |
Definition IV.6 : (Winkelmaß)
- Jedem Winkel
kann genau eine reelle Zahl
zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels
bezeichnet.
In Zeichen:.
- Jedem Winkel
Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren:
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Satz IV.1
- Wenn der Punkt
im Inneren des Winkels
und nicht auf einem der Schenkel des Winkels
liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel
und
jeweils kleiner als die Größe des Winkels
.
- Wenn der Punkt
Beweis von Satz IV.1
Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.
Rechte Winkel
Definition IV.2 : (Rechter Winkel)
- Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
Definition IV.3 : (Supplementärwinkel)
- Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.
Satz IV.2:
- Nebenwinkel sind supplementär.
Satz IV.3a :
- Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.
Beweis von Satz IV.3a :
- Übungsaufgabe
- Übungsaufgabe
Satz IV.3b :
- Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.
Beweis von Satz IV.3b :
- Übungsaufgabe
- Übungsaufgabe
Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":
Definition IV.4 : (Rechter Winkel)
Versuchen Sie sich...
Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden
Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)
- Es seien
und
zwei Geraden. Wenn sich
und
schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden
und
senkrecht aufeinader.
- Es seien
- In Zeichen:
(in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)
- In Zeichen:
Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht)
- Eine Gerade
und eine Strecke
stehen senkrecht aufeinander, wenn ...
- Eine Gerade
Eigenschaften der Relation senkrecht
Orientierte Winkel
Für die kommende Abbildungsgeometrie ist es manchmal hilfreich neben einem Winkel und seinem Winkelmaß auch eine Drehrichtung anzugeben. Diese Drehrichtung gibt die Richtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn)an, um die ein Schenkel a um den Scheitelpunkt S gedreht werden muss, damit er auf dem zweiten Schenkel b zu liegen kommt. Die Drehrichtung wird dabei durch einen Pfeil angezeigt.
Definition IV.7 : (Orientierter Winkel)
Ein Winkel, bei dem die Drehrichtung mit angegeben ist, nennt man Orientierter Winkel.