Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen

Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung

Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

1. Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
2. Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
3. Was ist eine Richtung?
4. Was ist der Richtungssinn?
5. Meint 3. und 4. dasselbe?
6. Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann ein ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

• Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
• Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa $\frac{3}{5} + \frac{7}{12}$ rechnen soll, dann rechne ich halt $\frac{36}{60} +\frac{35}{60}$ und erhalte$\frac{71}{60}$.
• Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa