Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen

Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung

Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

1. Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
2. Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
3. Was ist eine Richtung?
4. Was ist der Richtungssinn?
5. Meint 3. und 4. dasselbe?
6. Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

• Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
• Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa $\frac{3}{5} + \frac{7}{12}$ rechnen soll, dann rechne ich halt $\frac{36}{60} +\frac{35}{60}$ und erhalte$\frac{71}{60}$.

Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$ bestimmen soll, dann rechne ich halt $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}$ und erhalte $\overrightarrow {AE}$

Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird: Wir haben nicht wirklich die Brüche $\frac{3}{5}$ und $\frac{7}{12}$ addiert, sondern die Brüche $\frac{36}{60}$ und $\frac{35}{60}$. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: $\frac{3}{5}$ einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). $\frac{36}{60}$ derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde).

Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von $\overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow {BE}$ zu $\overrightarrow {AB}$ addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil $\overrightarrow {BE}$ aber auch ein von $\overrightarrow {BE}$ verschiedener Pfeil unserer Ebene.