Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen

Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung

Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

1. Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
2. Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
3. Was ist eine Richtung?
4. Was ist der Richtungssinn?
5. Meint 3. und 4. dasselbe?
6. Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

1. Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
2. Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa $\frac{3}{5} + \frac{7}{12}$ rechnen soll, dann rechne ich halt $\frac{36}{60} +\frac{35}{60}$ und erhalte$\frac{71}{60}$.

3. bis 6.

Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$ bestimmen soll, dann rechne ich halt $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}$ und erhalte $\overrightarrow {AE}$

Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird: Wir haben nicht wirklich die Brüche $\frac{3}{5}$ und $\frac{7}{12}$ addiert, sondern die Brüche $\frac{36}{60}$ und $\frac{35}{60}$. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: $\frac{3}{5}$ einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). $\frac{36}{60}$ derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde).

Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von $\overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow {BE}$ zu $\overrightarrow {AB}$ addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil $\overrightarrow {BE}$ aber auch ein von $\overrightarrow {CD}$ verschiedener Pfeil unserer Ebene.

Dieses Irgendwie und passt schon sollten wir präzieren. Zentraler Punkt dieser Präzisierung sind die Begriffe Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung.

Klasseneinteilungen

Beispiele und Gegenbeispiele

Kleine didaktische Bemerkung zur Erarbeitung des Begriffs Klasseneinteilung

Die Ausbildung von Lehrern an einer Hochschule oder Universität läuft häufig Gefahr, sich selbst ad absurdum zu führen. Auf der einen Seite fordert man vom zukünftigen Lehrer mit geradezu diktatorischer Attitüde, dass dieser sich seines didaktischen Know-How's bedienen möge, während man in den eigenen Lehrveranstaltungen dieses sträflichst vernachlässigt. Nun wird es rein aus Zeitgründen nicht immer möglich sein, in einer Hoschschullehrveranstaltung der Methoden eines Unterricht allgeinbildender Schulen zu bedienen, zumindest exemplarisch sollte es jedoch möglich sein, den stark dozierenden Stil der Hochschullehrveranstaltung zu durchbrechen. Hier und jetzt wollen wir dieses tun: Der Begriff der Klasseneinteilung soll induktiv erarbeitet werden. Hierzu werden wir verschiedene Beispiele und prägnante Gegenbeispiele bezüglich des Begriffes der Klasseneinteilung untersuchen um dann die Idee des Begriffs Klasseneinteilung herauszuarbeiten.

Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung

Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorackerer“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Gendarm telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.

Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er kommt deshalb eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“ Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse.