Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen

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=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
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===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
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::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
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::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
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::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

Version vom 15. Mai 2012, 11:35 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte \ A und \ B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten \ A und \ B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d = \left| AB \right|.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.







Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte \ A, B und \ C für die gilt:

a) \left| AB \right| = 5, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 4

b) \left| AB \right| = 5, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 2

c) \left| AB \right| = 5, \left| BC \right| = 2, \left| AC \right| = 1





Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Falls \operatorname{koll} \left( ABC \right), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind \ A, \ B und \ C kollinear.
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