Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen
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::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br /> | ::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br /> | ||
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear. | ::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear. | ||
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+ | === Definitionen und Sätze === | ||
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+ | ===== Definition II.2: (Zwischenrelation) ===== | ||
+ | ::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist. | ||
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+ | ::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> | ||
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+ | Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze: | ||
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+ | ::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>. | ||
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+ | ::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>. | ||
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+ | ===== Beweis von Satz II.2 ===== | ||
+ | :: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.) | ||
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+ | ::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>. | ||
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+ | ===== Beweis von Satz II.3: ===== | ||
+ | Übungsaufgabe 5.1 | ||
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+ | = Der Begriff der Strecke= | ||
+ | ===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) ===== | ||
+ | ::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) | ||
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+ | ===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) ===== | ||
+ | ::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) | ||
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+ | = Halbgeraden bzw. Strahlen = | ||
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+ | ===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) ===== | ||
+ | :Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): (ergänzen Sie) |
Version vom 15. Mai 2012, 12:05 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Der Abstand zweier Punkte
Die ersten beiden Abstandsaxiome
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten und gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl mit .
Definition II.1: (Abstand)
- Der Abstand zweier Punkte und ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten und zugeordnet werden kann.
Schreibweise: .
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt .
Aufgabe
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte und für die gilt:
a) = 4, = 3, = 5
b) = 2, = 3, = 5
c) = 1, = 2, = 5
Das Axiom der Dreiecksungleichung
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte und gilt:
- Falls , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.
Definitionen und Sätze
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt und der Punkt sowohl von als auch von verschieden ist.
- Schreibweise:
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:
Satz II.1
- Aus folgt .
Beweis von Satz II.1
- Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.2:
- Aus folgt .
Beweis von Satz II.2
- Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.3
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder oder oder .
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Beweis von Satz II.3:
Übungsaufgabe 5.1
Der Begriff der Strecke
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
Halbgeraden bzw. Strahlen
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
- Definition (Halbgerade ): (ergänzen Sie)