Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 15. Mai 2012, 13:32 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Der Abstand zweier Punkte
Die ersten beiden Abstandsaxiome
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten und gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl mit .
Definition II.1: (Abstand)
- Der Abstand zweier Punkte und ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten und zugeordnet werden kann.
Schreibweise: .
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt .
Aufgabe
Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte und für die gilt:
a) = 4, = 3, = 5
b) = 2, = 3, = 5
c) = 1, = 2, = 5
Das Axiom der Dreiecksungleichung
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte und gilt:
- Falls , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.
Definitionen und Sätze
Definition II.2: (Zwischenrelation)
- Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt:
- Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt:
- und
- , und sind paarweise verschieden.
- Schreibweise:
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:
Satz II.1
- Aus folgt .
Beweis von Satz II.1
- Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.2:
- Aus folgt .
Beweis von Satz II.2
- Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Satz II.3
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder oder oder .
- Es sei mit sind paarweise verschieden.
Beweis von Satz II.3:
Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
Der Begriff der Strecke
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
- Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
Halbgeraden bzw. Strahlen
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
- Definition (Halbgerade ): (ergänzen Sie)