Version vom 15. Mai 2012, 13:34 Uhr

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten und gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl mit .

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte und ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten und zugeordnet werden kann.
Schreibweise: .

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte und gilt .

Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte und für die gilt:

a) = 4, = 3, = 5

b) = 2, = 3, = 5

c) = 1, = 2, = 5

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte und gilt:

Falls , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.

Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt liegt zwischen zwei Punkten und , wenn gilt:

• und
• , und sind paarweise verschieden.

Schreibweise:

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Satz II.1

Aus folgt .

Beweis von Satz II.1

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.2:

Aus folgt .

Beweis von Satz II.2

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.3

Es sei mit sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder oder oder .

Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?

Aufgabe

Definieren Sie:

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien und zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Halbgeraden bzw. Strahlen

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition (Halbgerade ): (ergänzen Sie)