Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012): Unterschied zwischen den Versionen

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:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
 
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=== Aufgabe ===
 
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Konstruieren Sie die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br />
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Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> für die gilt:<br /><br />
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a) <math>\left| AB \right| </math> '''= 5''', <math>\left| BC \right|</math> ''' = 3''', <math>\left| AC \right|</math> ''' = 4'''<br />
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c) <math>\left| AB \right| </math> '''= 1''',  <math>\left| BC \right|</math> ''' = 2''',  <math>\left| AC \right|</math> ''' = 5'''<br /><br />
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=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
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===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
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::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
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::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
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::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
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::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
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::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
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::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
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=== Definitionen und Sätze ===
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===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
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::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn gilt:<br />
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::* <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> und
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::*<math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> sind paarweise verschieden.
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::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>
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Es gelten die folgenden Sätze:
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::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.
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===== Satz II.2: =====
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::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.
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===== Satz II.3 =====
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::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.<br /> Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.
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===== Beweis von Satz II.3: =====
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Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?
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===Aufgabe===
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Definieren Sie:
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===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
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::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
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===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
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::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)
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===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
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::Definition (Halbgerade <math>AB^+</math>): ......(ergänzen Sie)
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::Definition (Halbgerade <math>AB^-</math>): ......(ergänzen Sie)

Aktuelle Version vom 15. Mai 2012, 13:53 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte \ A und \ B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten \ A und \ B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d = \left| AB \right|.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.










Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte \ A, B und \ C für die gilt:

a) \left| AB \right| = 4, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 5

b) \left| AB \right| = 2, \left| BC \right| = 3, \left| AC \right| = 5

c) \left| AB \right| = 1, \left| BC \right| = 2, \left| AC \right| = 5









Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Falls \operatorname{koll} \left( ABC \right), dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|
\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|
\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|
Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind \ A, \ B und \ C kollinear.






Definitionen und Sätze

Definition II.2: (Zwischenrelation)
Ein Punkt \ B liegt zwischen zwei Punkten \ A und \ C, wenn gilt:
  • \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| und
  • \ A, \ B und \ C sind paarweise verschieden.
Schreibweise: \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)






Es gelten die folgenden Sätze:

Satz II.1
Aus \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) .


Satz II.2:
Aus \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) .


Satz II.3
Es sei \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) mit \ A, B, C sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der Zwischenrelationen, d.h. entweder \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) oder \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) oder \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) .
Beweis von Satz II.3:

Übungsaufgabe (5.1). Beweisideen?










Strecken und Halbgeraden







Aufgabe

Definieren Sie:

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


Definition II.4: (Länge einer Strecke)
Es seien \ A und \ B zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)


Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Definition (Halbgerade AB^+): ......(ergänzen Sie)
Definition (Halbgerade AB^-): ......(ergänzen Sie)
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