Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012)

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$.

Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ für die gilt:

a) $\left| AB \right|$ = 5, $\left| BC \right|$ = 3, $\left| AC \right|$ = 4

b) $\left| AB \right|$ = 5, $\left| BC \right|$ = 3, $\left| AC \right|$ = 2

c) $\left| AB \right|$ = 5, $\left| BC \right|$ = 2, $\left| AC \right|$ = 1

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.$

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$

$\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$

$\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$, $\ B$ und $\ C$ kollinear.