Axiome WS10/11: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 29. November 2010, 21:14 Uhr
Axiome
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- Inzidenzaxiome:
AXIOM I/0
- Geraden sind Punktmengen.
AXIOM I/1 (Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
- weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden
- Eine Gerade g, die durch zwei verschiedene Punkte A und B eindeutig bestimmt ist wird auch mit AB bezeichnet.
AXIOM I/2
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
AXIOM I/3
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I/4
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I/5
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I/6
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I/7
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten
und 
gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl 
mit 
.
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt
.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte
und 
gilt: 
- Für drei beliebige Punkte
- Falls
, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Falls
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl gibt es auf jedem Strahl
genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von den Abstand hat.
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl
Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)
- Gegeben sei ein Dreieck
. Ferner sei 
eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte 
geht. Wenn eine der drei Seiten des Dreiecks schneidet, dann schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks .
- Gegeben sei ein Dreieck
