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Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.
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Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.
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Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich der wirklicher mathematischer Exaktheit bezüglich der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

Version vom 3. Juni 2010, 12:35 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden
Halbebenen
Objekt \ G, das in Klassen eingeteilt wird
\ G ist eine ... \ G ist eine ...
Dimension von \ G
Dimension von Dimension von
Objekt \ T, das \ G in Klassen einteilt
\ T ist ... \ T ist ...
Dimension von \ T
\ T hat die Dimension ... \ T hat die Dimension ...
Referenzpunkt \ Q teilt \ G \setminus_{\{ Q \}} in genau zwei Klassen
Klasse 1:
Menge aller Punkte \ P\mathrm{\in }G , die mit \ Q bezüglich \ T „auf derselben Seite liegen“
\ AQ^{+} = \{P| ... \} \ gQ^{+} = \{P| ... \}
Klasse 2:
Menge aller Punkte P\mathrm{\in }G, die bezüglich \ T nicht auf der Seite von \ Qliegen.
\ AQ^{-} = \{P| ... \} \ gQ^{-} = \{P| ... \}

Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene \Epsilon gehört u.a., dass jede Gerade \ g, die zu unserer jeweiligen Ebene \Epsilon gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von \Epsilon bezüglich der Geraden \ g verwenden wir einen Punkt \ Q \in \Epsilon, welcher nicht zu \ g gehören sollte. Halbebene 00.png
Zu der einen Hälfte von \ \Epsilon bezüglich \ g gehören alle die Punkte aus \Epsilon \setminus g, die mit \ Q auf derselben Seite von \ g liegen. Alle anderen Punkte aus \Epsilon \setminus g gehören zur anderen Seite von \ \Epsilon bezüglich \ g. Halbebene 01.png

Offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene \ \Epsilon, die nicht auf einer Geraden \ g dieser Ebene liegen, durch diese Gerade \ g eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich der Trägergeraden \ g. Der nicht zu \ g gehörende Referenzpunkt \ Q \in \Epsilon bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich \ g mit \ Q auf derselben Seite liegen, wird mit \ gQ^{+} bezeichnet, die andere offene Halbebene von \ \Epsilon bezüglich \ g und \ Q mit \ gQ^{-}.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich der wirklicher mathematischer Exaktheit bezüglich der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte \ P und \ Q einer Ebene \ \Epsilon auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden \ g liegen.

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