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Version vom 4. November 2010, 12:17 Uhr
Axiome von Moise/Downs
- Inzidenzaxiome:
Axiom I.0:
- Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)
- Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Axiom I.2:
- Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
Axiom I.3:
- Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I.4:
- Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I.5:
- Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I.6:
- Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I.7:
- Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
- Abstandsaxiome:
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
- Zu je zwei Punkten und gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl mit .
Axiom II.2:
- Für zwei beliebige Punkte und gilt .
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
- Für drei beliebige Punkte und gilt:
- Falls , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
- Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind , und kollinear.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
- Zu jeder nicht negativen reelen Zahl gibt es auf jedem Strahl genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von den Abstand hat.
Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)
- Gegeben sei ein Dreieck . Ferner sei eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte geht. Wenn eine der drei Seiten des Dreiecks schneidet, dann schneidet genau eine weitere Seite des Dreiecks .
Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom)
- Zu jedem Winkel gibt es genau eine reelle Zahl zwischen 0 und 180.
Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
- Es sei eine Gerade in der Ebene . Zu jeder reellen Zahl mit gibt es in jeder der beiden durch bestimmten Halbebenen der Ebene genau einen Strahl mit
Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
- Wenn der Punkt zum Inneren des Winkels gehört , dann gilt .
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
- Nebenwinkel sind supplementär.
Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)
- Wenn für zwei Dreiecke und die folgenden 3 Kongruenzen
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke und kongruent zueinander.
Euklidisches Parallelenaxiom
- Zu jedem Punkt außerhalb einer Geraden gibt es höchstens eine Gerade , die durch geht und zu parallel ist.