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| − | { In welchen Fällen ist der Begriff des Mittelpunkts einer Strecke mathematisch korrekt definiert worden?} | + | { <math>\mathcal{M}</math> sei die Menge aller Punkte unserer Geometrie. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math>} |
| − | - Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist ein Punkt der mitten auf der Strecke sitzt.
| + | - <math>\exist g \in \mathcal{G}. \forall A,P \in \mathcal{M}: A, P \in g</math> |
| − | || was heißt mitten auf der Strecke?
| + | || Formulieren Sie die Aussage einmal natürlichsprachlich. Was bedeutet sie? |
| − | - Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ergibt sich aus der Schnittmenge der beiden Halbgeraden <math>\ AB^+ </math> und <math>\ AB^- </math>. | + | + <math>\neg \exist A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math> |
| − | || es geht um Strecken, nicht um Geraden oder Halbgeraden. | + | || Sehr gut! Sind Sie der Geist, der stets verneint? |
| − | - Ein Punkt <math>\ M</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
| + | - <math>\forall g \in \mathcal{G}. \exist A,P \in \mathcal{M}: A, P \not \in g</math> |
| − | || Ein solcher Punkt könnte auch außerhalb der Strecke <math>\overline{AB}</math> liegen - warum? | + | || Ja oder nein - das ist hier die Frage. |
| − | + Ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
| + | - <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \not \in g</math> |
| − | || so ist es korrekt! | + | || Was nun: Gibt es jetzt mindestens eine Gerade, oder soll das für alle Geraden gelten? |
| − | + Wenn für einen Punkt <math>\ M</math> gilt: <math>\ M \in \overline{AB}</math> mit: <math> \left| AM \right| = \left| MB \right|</math>, dann heißt <math>\ M</math> Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>.
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| − | || so klappt es auch! | + | |
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| − | {Welche der folgenden Aussagen ist zu folgendem Satz äquivalent: | + | { <math>\mathcal{M}</math> sei die Menge der Punkte <math>A, B, C</math>. Was ist die Negation der Aussage <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y</math>} |
| − | Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann hat es genau einen Umkreis.}
| + | - <math>\exist X \in \mathcal{M}.\forall Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math> |
| − | - Es gibt Dreiecke mit Umkreisen.
| + | || Wenn Sie es nicht ganz so umständlich ausdrücken, kommen Sie auf eine andere falsche Aussage hier in dieser Auswahl. |
| − | || aber nicht alle müssen genau einen Umkreis haben!
| + | - <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math> |
| − | - zu allen Kreisen existiert genau ein Dreieck.
| + | || Muss es denn eine Dreierbeziehung sein? |
| − | || das ist offensichtlich Unsinn.
| + | + <math>\exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math> |
| − | - Jedes n-Eck mit genau einem Umkreis ist ein Dreieck.
| + | || Richtig! Es gibt sie also doch, wenn man nur etwas negativ denkt! |
| − | || das ist die Umkehrung der ursprünglichen Aussage und außerdem nicht wahr.
| + | - <math>\neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math> |
| − | - Es existieren Dreiecke, die einen Umkreis haben.
| + | || Oft ist es einfach ein Strich zu wenig. |
| − | || wo ist die Eindeutigkeit?
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| − | - Es existieren Umkreise.
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| − | || ohne Worte!
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| − | + hat ein n-Eck keinen oder mehr als einen Umkreis, dann ist es kein Dreieck.
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| − | || dies ist die Kontraposition der oben genannten Aussage und damit äquivalent zu dieser!
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| − | {Wie lautet die korrekte "Wenn-Dann-Form" der folgenden Implikation? | + | |
| − | Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.}
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| − | - Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks 180° beträgt, so ist es ein Dreieck. | + | |
| − | || die Umkehrung lässt grüßen. | + | |
| − | - Genau dann wenn ein Dreieck gegeben ist, beträgt seine Innenwinkelsumme 180°. | + | |
| − | || hier wird eine Äquivalenz formuliert. | + | |
| − | + Wenn ein Dreieck gegeben ist, dann beträgt seine Innenwinkelsumme 180°. | + | |
| − | || so ist es korrekt! | + | |
| − | - Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks keine 180° beträgt, dann ist das n-Eck kein Dreieck. | + | |
| − | || es handelt sich hier um die Kontraposition. | + | |
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