Benutzer:Sternchen

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Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) Element Voraussetzung
(II) Element Element
(III) Element Element
(IV) Element Element
(V) Element Element


Kleine Zusammenfassungen

Klasseneinteilung

Es sei M eine Menge und K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} eine Menge von Teilmengen von M.
K ist eine Klasseneinteilung von M, wenn gilt:
  1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
  2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
  3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge M.
Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien  M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n ist eine \ n-stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation \ R in einer Menge \ M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Versuch einer Auflistung

Axiome

AXIOM I/0
Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
AXIOM I/2
Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
AXIOM I/3
Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
Axiom I/4
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
Axiom I/5
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
Axiom I/6
Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
Axiom I/7
Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)
Zu je zwei Punkten \ A und \ B gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl \ d mit d=0:\Longleftrightarrow A=B.
Axiom II.2:
Für zwei beliebige Punkte \ A und \ B gilt \left| AB \right| = \left| BA \right|.
Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
Für drei beliebige Punkte \ A, B und \ C gilt: \left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.
Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
Zu jeder nicht negativen reelen Zahl \ d gibt es auf jedem Strahl \ p genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von \ p den Abstand \ d hat.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)
Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
Definition I/5: (Raum)
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
Definition I/6: (komplanar)
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
Definition I/7: (komplanar für Geraden)
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
Schreibweise: komp(g, h)
Definition I/8: (Geradenparallelität)
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
In Zeichen: g||h.
Definition I/9: (windschief )
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
Definition I/10: (parallel für Ebenen)
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte \ A und \ B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten \ A und \ B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d = \left| AB \right|.
Definition II.1: (Zwischenrelation)
Ein Punkt \ B liegt zwischen zwei Punkten \ A und \ C, wenn  \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| gilt und der Punkt \ B sowohl von \ A als auch von \ C verschieden ist.
Schreibweise:  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)
Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Definition II.3: (Länge einer Strecke)
Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Lösung_von_Aufgabe_6.5
Lösung_von_Aufgabe_6.6
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
Wenn ein Punkt \ M der Strecke \overline{AB} zu den Endpunkten \ A und \ B jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke \overline{AB}.

Sätze

Satz I.1
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)
Es seien g und h zwei Geraden.
Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.
Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)
Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
Satz I.5:
Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
Satz I.6:
Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Satz I.7:
Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.
Satz II.1
Aus  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt  \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) .
Satz II.2:
Aus  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) folgt  \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) .
Satz II.3
Es sei  \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) mit \ A, B, C sind paarweise verschieden.
Dann gilt  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) oder  \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) oder  \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) .
Satz II.4
Es sei \ O ein Punkt einer Geraden \ g.
Die Teilmengen  \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\},  \left\{ O \right\} und  \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} bilden eine Klasseneinteilung der Geraden \ g.
Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)
Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.