Bewegungen (2012 13): Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien <math>\ A, B, C</math> drei paarweise verschiedene Punkte mit
 
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Version vom 5. November 2012, 17:38 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Begriff der Bewegung

Die Grundideen

Starrheit und Kopieren

Abstraktion von den physikalischen Gegebenheiten

Die Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken.

Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden.

Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet.

Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte.

Der Begriff der Bewegung

Definition

Definition 1.1: Bewegung
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der Streckenlängen erhalten bleiben.

Eigenschaften von Bewegungen

Satz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen)
Jede Bewegung ist eine Bijektion.

Beweis von Satz 1.1

Vorüberlegungen

Es sei \ \beta eine Bewegung, die die Ebene \epsilon auf sich selbst abbildet.

Wir haben zu zeigen, dass \ \beta ein Bijektion ist.
Hierzu haben wir zu zeigen, dass die Abbildung \ \beta

und

ist.

Surjektivität

Die Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung auf)

Injektivität

Alle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene \varepsilon. Wir verzichten deshalb darauf, die Zugehörigkeit der im folgenden verwendeten Punkte zu \varepsilon explizit zu betonen. Die gestrichenen Punktbezeichnungen mögen immer das Bild des Punktes mit der entsprechenden ungestrichenen Punktbezeichnung bezüglich der Bewegung \beta kennzeichnen.

zu zeigen:


  1. Jeder Punkt \ P' ist das Bild von maximal einem Punkt \ P.

    oder

  2. Je zwei verschiedene Originalpunkte \ P und \ Q haben nicht dasselbe Bild.

    oder

  3. P \ne Q\Rightarrow P' \ne Q'

Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen.

Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)

Voraussetzung: P \ne Q
Behauptung: P' \ne Q'
Annahme: \ P' = Q'


Nr. Beweisschritt Begründung
(I) d(P,Q) > 0 ... </math>
(II) d(\beta(P), \beta(Q)) = 0 ... </math>
(III) (I) und (II) widersprechen sich. ...
Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen)
Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.
Beweis von Satz 1.2

Zunächst ist allgemein bekannt, dass die NAF zweier Abbildungen eine Abbildung ist (s. Algebra I). Es seien \beta_1 und \beta_2 zwei Bewegungen. \beta_1 bildet die Ebene \varepsilonauf sich selbst ab. Hernach wird \varepsilon durch \beta_2 wiederum auf sich selbst abgebildet. Ergo: \begin{matrix} & \beta_2 \beta_1 & \\ \varepsilon & \longrightarrow & \varepsilon \end{matrix} .

Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen)
Die Zwischenrelation ist eine Invariante bei jeder Bewegung.
Beweis von Satz 1.3

Es seien \ A, B, C drei paarweise verschiedene Punkte mit

(*) \operatorname{Zw}(A, B, C).

zu zeigen:

(**) \operatorname{Zw}(A', B', C')

Wir übersetzen zunächst (*):

\ |AB| + |BC| = |AC|

entsprechend (**) haben wir zu zeigen, dass \ |A'B'| + |B'C'| = |A'C'| gilt.

Den Rest können Sie alleine ... .

Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen)
Für eine jede Bewegung \ \beta gilt:
(a) Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.
(b) Das Bild einer Halbgeraden \ AP^+ ist eine Halgerade mit dem Anfagspunkt \ \beta(A).
(c) Das Bild einer Strecke \overline{AB} ist die Strecke \overline{\beta(A)\beta(B)}
(d) Falls zwei Geraden, Strecken, Halbgeraden oder zwei verschiedene dieser Figuren einen Punkt \ P gemeinsam haben, so haben die Bildfiguren den Punkt \ \beta(P) gemeinsam.
Beweis von Satz 1.4:
Die Beweise ergeben sich mehr oder weniger unmittelbar aus Satz 1.3.
Fühlen Sie sich frei zu üben.

a) Das Bild einer Geraden ist eine Gerade

Voraussetzung: AB ist eine Gerade
Behauptung: A'B' ist das Bild von AB

Ich möchte den "Beweis" führen für die Strecke (also für (c)), da daraus sowohl Halbgerade und Gerade direkt ableitbar sind:

Voraussetzung: Strecke \overline{AB} sowie eine Bewegung \beta
Behauptung: \overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'}

Sei P ein beliebiger Punkt auf |AB|, sodass gilt: \operatorname(Zw) (A, P, B)
Nach Satz 1.4 bleiben die Abstände dieser Punkte nach einer Bewegung erhalten. Es gilt: \operatorname(Zw) (A, P, B) = \operatorname(Zw) (A', P', B')
Nach Definition Zwischenrelation gilt nun: \overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'} --Flo60 22:31, 26. Okt. 2011 (CEST)

Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)
Für jede Bewegung \ \beta und jeden Winkel \angle ASB gilt:
| \angle ASB| = | \angle \beta(A) \beta(S) \beta(B)|
Beweis von Satz 1.5:

Abstandserhaltung von \ \betaund der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.
Voraussetzung: \angle ASB, Bewegung \beta, \angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)
Behauptung: \angle ASB = \angle \beta(A)\beta(S) \beta(B)

Direkte Beweisführung

Wir nehmen an, ASB ist ein Dreieck. Nach der Definition von Bewegung und der Voraussetzung entsteht mit \beta(A)\beta(S) \beta(B) ein Dreieck, dessen Seiten jeweils gleich lang sind, wie diejenigen des ursprünglichen Dreiecks ABC. Nach dem Kongruenzsatz SSS sind nun beide Dreiecke kongruent. Demnach ist nach der Definition von Kongruenz auch jeder Winkel des ursprünglichen gleich den Winkeln des Bildes dieses Dreiecks.
--Flo60 12:59, 20. Okt. 2011 (CEST)

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