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Beweise zu den Sätze

Beweis von Satz I.1

Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.

Fall 1:

Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

Fall 2:

Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P.

Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.

Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben.

Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.

Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.

Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.

Beweis von Satz I.2

Es seien g und h zwei Geraden.

Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam.

Es seien dieses die Punkte P und Q.

Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind.

Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.

Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen.