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Beweise zu den Sätzen

Die Beweise auf deser Seite sind aus dem Skript hier vom WIKI entnommen.

Beweis von Satz I.1

Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.

Fall 1:

Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.

Fall 2:

Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P.

Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.

Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben.

Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.

Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.

Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.

Beweis von Satz I.2

Es seien g und h zwei Geraden.

Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam.

Es seien dieses die Punkte P und Q.

Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind.

Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.

Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen.

Dieser Beweis ist nicht schlüssig. Es wird von einer Annahme gesprochen, die nur aufgestellt wird, wenn es sich um einen indirekten Beweis handelt. Bei der Kontraposition wird direkt bewiesen.
Der weitere gemeinsame Punkt Q ist schon Element der Geraden g und h laut Voraussetung.
Also der Beweis wird wie folgt geführt.

Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. P, Q sind Element der Geraden g und h
Behauptung: g und h sind identisch

1) P, Q sind Element von g und h____laut Voraussetzung
2) Durch die Punkte P und Q geht____Axiom I/1
genau eine Gerade.
3) g und h sind identisch__________2)
Behauptung stimmt q.e.d --Engel82 16:43, 15. Nov. 2010 (UTC)