Das Euklidische Parallelenaxiom SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

Geschichte des Parallelenaxioms

Vater und Sohn Bolyai

Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden. . . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit, diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit.

Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820) ([1], S. 162)

[2]
[3]

Carl Friedrich Gauß

[4]

Николай Иванович Лобачевский

http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski

Das Euklidische Parallelenaxiom

EP

Zu jedem Punkt außerhalb einer Geraden gibt es höchstens eine Gerade , die durch geht und zu parallel ist.

EP im Original

EP im Original

Euklid hatte sein Postulat im Original anders formuliert:

Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte.

Erläuteren Sie den Zusammenhang von Euklids 5. Postulat zu den Sätzen über die Winkel an geschnittenen Geraden.

Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen

Der Stufenwinkelsatz

Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz)

Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis:
Übungsaufgabe

Der Wechselwinkelsatz

Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz)

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis:
Übungsaufgabe

Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen

Satz XII.3

Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.

Beweis:
Übungsaufgabe