Das Wiki für die Lehrveranstaltung Lineare Algebra/analytische Geometrie SoSe 2018: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 26. April 2018, 11:20 Uhr

Das Wiki für die Lehrveranstaltung "Lineare Algebra/analytische Geometrie", Sommersemester 2017

Inhaltsverzeichnis

Literatur

Literatur

Aus früheren Semestern

Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen

Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Variablen

Allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen

ax + by + c = 0

\begin{align} ax+by=c \\ a, b, c \in \mathbb{R} \\ x, y \in \mathbb{R}, \end{align}
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Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by=c

Es seien a, b, c \in \mathbb{R} , beliebig aber fest, a, b nicht gleichzeitig 0,
x,y \in \mathbb{R}, variabel.
Wir untersuchen die Gleichung
(I) ax+by=c

Satz 1:

Die Gleichung (II) ax+by=c beschreibt die Menge aller Punkte einer Geraden in der reellen Zahlenebene.

Beweis:
Aus der Schule ist die folgende Gleichung für Geraden bekannt: y=mx+b, m,b \in \mathbb{R}, beliebig aber fest, x,y \in \mathbb{R} variabel. Wir führen zwei Beweise:

  1. Wir zeigen, dass jede Gleichung vom Typ (I) durch äquivalente Umformungen in eine Gleichung vom Typ (II) überführt werden kann.
  2. Wir zeigen, dass umgekehrt (fast) jede Gleichung vom Typ (II) durch äquivalente Umformungen in den Typ (I) überführt werden können.

Ausführung des Beweises: Übungsaufgabe Überlegen Sie was das fast im zweiten Beweisteil zu bedeuten hat.

Das Gleichsetzungsverfahren

\begin{align} 4x - 5y &=13 \\ 3x +4y &=3 \end{align}


Wir stellen beide Gleichungen nach y um:
\begin{align} y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\ y &=& -\frac{3}{4}x &+ &\frac{3}{4} \end{align}
Gleichsetzen der rechten Seiten:

\frac{4}{5}x - \frac{13}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}
Vereinfachen:
x=\frac{67}{31}
\begin{align} y &=& \frac{4}{5}x &- &\frac{13}{5} \\ y &=& \frac{4}{5}\frac{67}{31} &- &\frac{13}{5} \\ y &=& -\frac{27}{31} \end{align}

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