Ältere Lehrveranstaltungen
Literatur zur Elementargeometrie
Übungsaufgaben und Kontrollfragen zur EG
Skript und mehr
Satzgruppe des Pythagoras (ohne Ähnlichkeitsgeometrie)
Bemerkungen zur Lehrveranstaltung Elementargeometrie
Die Elementargeometrie baut auf der Einführung bin die Geometrie auf. Wie auch in der Einführungslehrveranstaltung wird synthetische Geometrie betrieben. Der grundlegende Unterschied zwischen beiden Veranstaltungen besteht darin, dass in der Einführung die Kongruenz als statische Dreieckskongruenz betrachtet wurde und demgegenüber die Elementargeometrie aus abbildungsgeometrischer Sicht mehr dynamisch untersucht wird.
Als Klammer um die gesamte Lehrveranstaltung legen wir die Satzgruppe des Pythagoras. Das bedeutet, dass sich sowohl die erste als auch die letzte Konferenz mit der Satzgruppe des Pythagoras beschäftigt. In der ersten Konferenz werden wir den Satz des Pythagoras mit den bisher in der Einführung in die Geometrie bereit gestellten mathematischen Mitteln beweisen.
Die weiteren Konferenzen werden sich zunächst mit der Kongruenzgeometrie aus abbildungsgeometrischer Sicht beschäftigen. Hierzu gehen wir von einem abstrakten Bewegungsbegriff aus: eine Bewegung ist eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich. Dieser Begriff führt zu speziellen Bewegungen, den Geradenspiegelungen. Geradenspieglungen sind Bewegungen mit genau einer Fixgeraden. Diese Definition ist wunderbar griffig, doch für den Unterricht in der SI absolut ungeeignet. Wir werden damit zweigleisig fahren: Wie geht der Schulunterricht mit dem Begriff der Geradenspiegelung um und wie passt dieser Umgang mit dem abstrakten Begriff der Bewegung zusammen. Der nächste schulgeometrisch wichtige Begriff ist der der Drehung um einen Punkt. Hier werden unsere Untersuchungen dreigleisig:
- Drehung im Geometrieunterricht der SI,
- Drehung als Bewegung mit genau einem Fixpunkt,
- Drehung als Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen
Die Äquivalenz aller drei Betrachtungsweisen wird uns zwei Konferenzen lang beschäftigen.
Der weitere Lehrstoff dürfte nicht schwer zu erraten sein: Verschiebungen. Auch hier drei Aspekte der Betrachtung:
- Verschiebung im Geometrieunterricht der SI,
- Verschiebung als Bewegung ohne jeden Fixpunkt und weitere zu findende Eigenschaft,
- Verschiebung als die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen.
Mit Geradenspieglungen, Drehungen und Verschiebungen haben wir alle in der Schule zu behandelnden Kongruenzabbildungen (Bewegungen) betrachtet. Die Umstrukturierung Ihrer diesbezüglichen Kenntnisse aus der Schule soll Ihr Wissen und können zu diesen Begriffen vertiefen und festigen und Sie für den entsprechenden Unterricht als Lehrer fit machen.
Im Sinne einer vollständigen Klassifizierung aller Bewegungen fehlt dann noch der Begriff der sogenannten Schubspiegelung. Wir werden uns dieser Klassifizierung über den sogenannten Reduktionssatz zuwenden: Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen. Falls Sie sich schon immer gefragt haben, warum in der Schule den Geradenspiegelungen weitaus mehr Raum als den Drehungen und Verschiebungen gegeben wird, der Reduktionssatz ist die fachwissenschaftliche Antwort auf diese Frage.
Satz des Pythagoras
Kongruenzgeometrie
- Bewegungen
- Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade
- Geradenspiegelungen
- Drehungen in der Schule
- Reduktionssatz
- Drehungen als Geradenspiegelungen
- Verschiebungen
- Klassifizierung aller Bewegungen
- Schubspiegelung
Ähnlichkeitsgeometrie
- Projektionssatz
- Strahlensätze
- zentrische Streckungen und Ähnlichkeitsabbildungen
Satzgruppe des Pythagoras
- Pythagoras mittels Ähnlichkeitsgeometrie beweisen
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