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Inhaltsverzeichnis

Definitionen

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Definition: (n-stellige Relation)
Es seien  M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus  M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times  M_n ist eine \ n-stellige Relation.
Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)
Es sei M eine Menge und K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} eine Menge von Teilmengen von M.
K ist eine Klasseneinteilung von M, wenn
  1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
  2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
  3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge M.
Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.
Definition I/2: (kollinear)
Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)
Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)
Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)
Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.
Definition: (Parallelität von Geraden)
Zwei Geraden sind paralle, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.
Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)
Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.
Definition I/5: (Raum)
Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.
Definition I/6: (komplanar)
Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)
Definition I/7: (komplanar für Geraden)
Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
Schreibweise: komp(g, h)
Definition I/8: (Geradenparallelität)
Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
In Zeichen: g||h.
Definition I/9: (windschief )
Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.
Definition I/10: (parallel für Ebenen)
Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.


Definition II.1: (Abstand)
Der Abstand zweier Punkte \ A und \ B ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten \ A und \ B zugeordnet werden kann.
Schreibweise: d = \left| AB \right|.
Definition II.2: (Zwischenrelation)
Ein Punkt \ B liegt zwischen zwei Punkten \ A und \ C, wenn  \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| gilt und der Punkt \ B sowohl von \ A als auch von \ C verschieden ist.
Schreibweise:  \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)
Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Definition II.4: (Länge einer Strecke)
Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)


Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)
Wenn ein Punkt \ M der Strecke \overline{AB} zu den Endpunkten \ A und \ B jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke \overline{AB}.


Definition IV.1: (offene Halbebene)
Es sei \ \Epsilon eine Ebene in der die Gerade \ g liegen möge. Ferner sei \ Q ein Punkt der Ebene \ \Epsilon, der nicht zur Geraden \ g gehört.
Unter den offenen Halbebenen \ gQ^{+} und \ gQ^{-} bezüglich der Trägergeraden \ g versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene \ \Epsilon ohne die Gerade \ g :
\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}


\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}
Definition IV.2: (Halbebene)
Es sei \ g eine Gerade der Ebene \ \Epsilon. \ gQ^+ und \ gQ^- seien die beiden offenen Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich \ g. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von \ \Epsilon bezüglich \ g versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von \ \Epsilon bezüglich der Geraden \ g mit jeweils dieser Geraden \ g entstehen.
\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup  \{g\}
\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}
Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)
Eine Menge \ M von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten \ A und \ B dieser Menge die gesamte Strecke \overline{AB} zu \ M gehört.