11

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Definitionen (1)

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$stellige Relation.

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$.

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$, wenn

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$.

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Definitionen (2)

Definitionen I

Definition I/2 (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

Definition I/3 (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition (Parallelität von Geraden)

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.

Definition I/4 (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5 (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6 (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...)

analoge Schreibweise: nkomp(A, B, C, D, ...) für nicht komplanar

Definition I/7 (komplanar für Geraden)==

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8 (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g || h.

Definition I/9 (windschief)

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10 (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definitionen II

Definition II.1 (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.

Schreibweise: $d = \left| AB \right|$.

Definition II.2 (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$, wenn $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ gilt und der Punkt $\ B$ sowohl von $\ A$ als auch von $\ C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3 (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $\ A$ und $\ B$ sowie alle Punkte, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$.

Definition II.4 (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $\vert AB \vert$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$.

Definition II.5 (Halbgerade, bzw. Strahl)

Halbgerade $AB^+$

$AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}$

Halbgerade $AB^-$

$AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}$

Definitionen III

Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

Definitionen IV

Definition IV.1 (offene Halbebene)

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene in der die Gerade $\ g$ liegen möge. Ferner sei $\ Q$ ein Punkt der Ebene $\ \Epsilon$, der nicht zur Geraden $\ g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\ \Epsilon$ ohne die Gerade $\ g$ :

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$ oder $\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}$ oder $\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \}$

Definition IV.2 (Halbebene)

Es sei $\ g$ eine Gerade der Ebene $\ \Epsilon$. $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ mit jeweils dieser Geraden $\ g$ entstehen.

$\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}$

$\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}$

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $\ M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $\ M$ gehört.