Definitionen in der Mathematik WS 19 20: Unterschied zwischen den Versionen
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==Was ist eine Definition?== | ==Was ist eine Definition?== | ||
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br /> | *Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.<br /> | ||
+ | ==Eigenschaften von Definitionen== | ||
+ | ===Definitionen sind nicht beweisbar=== | ||
+ | ====Der Unterschied zwischen einer Definition und einer Aussage==== | ||
+ | Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Beispiele für mathematische Aussagen sind: | ||
+ | * Satz über die Innenwinkelsumme von Dreiecken: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt <math>180^\circ</math> | ||
+ | * Satz über die Existenz der Lotgeraden: Zu jedem Punkt <math>P</math> und jeder Geraden <math>g</math> gibt es eine Gerade, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht. | ||
+ | * Satz über die Eindeutigkeit der Lotgeraden: Zu jedem Punkt <math>P</math> und jeder Geraden <math>g</math> gibt es höchstens eine Gerade, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht. | ||
+ | Definitionen sind demgegenüber als mehr oder weniger "willkürliche" Festlegungen (Namensgebungen) weder wahr noch falsch. | ||
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1. | *Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1. | ||
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br /> | *Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br /> |
Version vom 20. Oktober 2019, 12:57 Uhr
Was ist eine Definition?
Eigenschaften von DefinitionenDefinitionen sind nicht beweisbarDer Unterschied zwischen einer Definition und einer AussageMathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Beispiele für mathematische Aussagen sind:
Definitionen sind demgegenüber als mehr oder weniger "willkürliche" Festlegungen (Namensgebungen) weder wahr noch falsch.
Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulierenEs gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren. Beispiel 1: ggT zweier ganzer ZahlenDie Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert. Das Übliche, die Realdefinition
Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"
Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition
Beispiel 2: DrachenviereckDie Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert. Realdefinition
Konventionaldefinition
genetisch, operative Definition
Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen NiveaustufenAus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.
Entwicklung einer "neuen" DefinitionIm Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.
Aufgaben:
Definition E.1: EllipseEine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die gilt |F1P| + |F2P|= Cons. und F1, F2 und P liegen in genau einer Ebene. F1 und F2 heißen Brennpunkte der Ellipse. ...
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus. Definition K.1: Kreis als spezielle EllipseEin Kreis ist eine Ellipse, für die gilt F1 = F2. ... |