Definitionen in der Mathematik WS 19 20: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 20. Oktober 2019, 13:13 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Was ist eine Definition?
2 Eigenschaften von Definitionen
- 2.1 Definitionen sind nicht beweisbar
  - 2.1.1 Der Unterschied zwischen einer Definition und einer Aussage
  - 2.1.2 Minimalität von Definitionen
3 Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren
- 3.1 Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen
- 3.2 Beispiel 2: Drachenviereck
4 Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen
5 Entwicklung einer "neuen" Definition
- 5.1 Definition E.1: Ellipse
- 5.2 Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

Was ist eine Definition?

Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht.

Eigenschaften von Definitionen

Definitionen sind nicht beweisbar

Der Unterschied zwischen einer Definition und einer Aussage

Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Beispiele für mathematische Aussagen sind:

Satz über die Innenwinkelsumme von Dreiecken: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$
Satz über die Existenz der Lotgeraden: Zu jedem Punkt $P$ und jeder Geraden $g$ gibt es eine Gerade, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht.
Satz über die Eindeutigkeit der Lotgeraden: Zu jedem Punkt $P$ und jeder Geraden $g$ gibt es höchstens eine Gerade, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht.

Definitionen sind demgegenüber als mehr oder weniger "willkürliche" Festlegungen (Namensgebungen) weder wahr noch falsch. Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder sinnlos. Die folgende Definition ist z.B. korrekt jedoch völlig sinnlos, weil sie die leere Menge beschreibt:
Definition: (gemeiner Dreiecksknux) Eine Gerade, die durch keinen Eckpunkt eines Dreiecks aber durch alle Seiten dieses Dreiecks geht, heißt gemeiner Dreiecksknux.

Minimalität von Definitionen

Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.

Beispiele: (zu viele Eigenschaften)

Definition: (Parallelogramm) Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleichlang zueinander sind. (Es wird nur eine der Eigenschaften benötigt, die andere lässt sich dann beweisen).
Definition: (Drachen) Ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und bei dem eine Diagonale die andere halbiert und das zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten hat, heißt Drachen. (Senkrecht und halbieren oder senkrecht und zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten reicht).

Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren

Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.

Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen

Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.

Das Übliche, die Realdefinition

Es seien $a$ und $b$ zwei ganze Zahlen. $T$ sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von $a$ als auch von $b$ sind. Die größte Zahl der Menge $T$ heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ .

Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"

Wenn eine Zahl $g$ sowohl die ganze Zahl $a$ als auch die ganze Zahl $b$ teilt und es keine Zahl $t$ gibt, die auch $a$ und $b$ teilt und dabei größer als $g$ ist, dann ist $g$ der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ .

Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition

Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen $a$ und $b$ erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ .

Beispiel 2: Drachenviereck

Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.

Realdefinition

Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.

Konventionaldefinition

Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.

genetisch, operative Definition

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck und $\ C'$ das Bild von $\ C$ bei der Spiegelung an $\ AB$ . Das Viereck $\overline{AC'BC}$ ist ein Drachenviereck.

Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen

Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen:
* Definitionen

Entwicklung einer "neuen" Definition

Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen.
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie?

In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen:

ein plattgedrückter Kreis
ein Rugbyball
ein Ei
eine Wasserpfütze
eine Wassermelone
eine Badewanne von oben
ein Auge--Schnirch (Diskussion) 15:09, 23. Apr. 2018 (CEST) (erarbeitet in der Vorlesung am 23.4.18)
Kreis von der Seite --Karl-Heinz Uwe (Diskussion) 15:11, 23. Apr. 2018 (CEST)

Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach.
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link den Servercache leeren.

Aufgaben:

Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b).
Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs
Ellipse zu entwickeln.

Definition E.1: Ellipse

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die gilt |F1P| + |F2P|= Cons. und F1, F2 und P liegen in genau einer Ebene. F1 und F2 heißen Brennpunkte der Ellipse. ...

Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren?

Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.

Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse

Ein Kreis ist eine Ellipse, für die gilt F1 = F2.

...

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 * Satz über die Eindeutigkeit der Lotgeraden: Zu jedem Punkt <math>P</math> und jeder Geraden <math>g</math> gibt es höchstens eine Gerade, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math>g</math> steht.
 Definitionen sind demgegenüber als mehr oder weniger "willkürliche" Festlegungen (Namensgebungen) weder wahr noch falsch.
-*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll.<br /> '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
+Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder sinnlos.
-*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />'''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt:<br /> Bsp. Definition Rechteck: <br />Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. <br />Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist.<br /><br />
+Die folgende Definition ist z.B. korrekt jedoch völlig sinnlos, weil sie die leere Menge beschreibt:<br />
+Definition: (gemeiner Dreiecksknux) Eine Gerade, die durch keinen Eckpunkt eines Dreiecks aber durch alle Seiten dieses Dreiecks geht, heißt gemeiner Dreiecksknux.
+====Minimalität von Definitionen====
+Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten.<br />
+Beispiele: (zu viele Eigenschaften)
+* Definition: (Parallelogramm) Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleichlang zueinander sind. (Es wird nur eine der Eigenschaften benötigt, die andere lässt sich dann beweisen).
+* Definition: (Drachen) Ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und bei dem eine Diagonale die andere halbiert und das zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten hat, heißt Drachen. (Senkrecht und halbieren oder senkrecht und zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten reicht).
 ==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==