Definitionen in der Mathematik WS 19 20

Was ist eine Definition? Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. Eigenschaften von Definitionen Definitionen sind nicht beweisbar Der Unterschied zwischen einer Definition und einer Aussage Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Beispiele für mathematische Aussagen sind: Satz über die Innenwinkelsumme von Dreiecken: Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$ Satz über die Existenz der Lotgeraden: Zu jedem Punkt $P$ und jeder Geraden $g$ gibt es eine Gerade, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht. Satz über die Eindeutigkeit der Lotgeraden: Zu jedem Punkt $P$ und jeder Geraden $g$ gibt es höchstens eine Gerade, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht. Definitionen sind demgegenüber als mehr oder weniger "willkürliche" Festlegungen (Namensgebungen) weder wahr noch falsch. Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder sinnlos. Die folgende Definition ist z.B. korrekt jedoch völlig sinnlos, weil sie die leere Menge beschreibt: Definition: (gemeiner Dreiecksknux) Eine Gerade, die durch keinen Eckpunkt eines Dreiecks aber durch alle Seiten dieses Dreiecks geht, heißt gemeiner Dreiecksknux. Minimalität von Definitionen Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. Beispiele: (zu viele Eigenschaften) Definition: (Parallelogramm) Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel und gleichlang zueinander sind. (Es wird nur eine der Eigenschaften benötigt, die andere lässt sich dann beweisen). Definition: (Drachen) Ein Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und bei dem eine Diagonale die andere halbiert und das zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten hat, heißt Drachen. (Senkrecht und halbieren oder senkrecht und zwei Paare jeweils gleichlanger Seiten reicht). Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren. Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert. Das Übliche, die Realdefinition Es seien $a$ und $b$ zwei ganze Zahlen. $T$ sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von $a$ als auch von $b$ sind. Die größte Zahl der Menge $T$ heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$. Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann" Wenn eine Zahl $g$ sowohl die ganze Zahl $a$ als auch die ganze Zahl $b$ teilt und es keine Zahl $t$ gibt, die auch $a$ und $b$ teilt und dabei größer als $g$ ist, dann ist $g$ der größte gemeinsame Teiler von $a$ und $b$. Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen $a$ und $b$ erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$. Beispiel 2: Drachenviereck Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert. Realdefinition Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck. Konventionaldefinition Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck. genetisch, operative Definition Es sei $\overline{ABC}$ein Dreieck. Spiegele $C$ an $AB$ und du erhältst den Bildpunkt $C'$. Das Viereck $\overline{ACBC'}$ heißt Drachen. Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren. Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * Definitionen Entwicklung einer "neuen" Definition Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff Ellipse zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. [ www.youtube.com is not an authorized iframe site ] Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: ein plattgedrückter Kreis ein Rugbyball ein Ei eine Wasserpfütze eine Wassermelone eine Badewanne von oben Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link den Servercache leeren. Aufgaben: Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt P und beobachten Sie die Strecken a und b). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. Definition E.1: Ellipse Das können Sie selbst: Definition: (Ellipse) Es seien $F_1$ und $F_2$ zwei Punkte. Die Menge aller Punkte $P$ ... ... Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse Ergänzen Sie: Ein Kreis ist eine Ellipse, für die gilt ... ...