Die abelsche Gruppe der geordneten Tripel reeller Zahlen 2012 13

Die nichtleere Menge $\mathbb{R}^3:=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ Die additive Verknüpfung Abgeschlossenheit der additiven Verknüpfung $\oplus$auf $\mathbb{R}^3$ Folgt unmittelbar aus der Abgeschlossenheit der Addition auf $\mathbb{R}$ Die Assoziativität von $\oplus$ auf $\mathbb{R}^3$ ... Ergänzen Sie selbst. Das neutrale Element bzgl. $\oplus$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}$ leistet das Verlangte. (Überzeugen Sie sich davon.) Die Inversen Elemente bzgl. $\oplus$ $\forall \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3: \begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} -x \\-y \\ -z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ Kommutativität von $\oplus$ Folgt unmittelbar aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen.