Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden, Ebenen SoSe13: Unterschied zwischen den Versionen
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== Was ist ein Punkt? == | == Was ist ein Punkt? == | ||
===Hilberts Idee von der Geometrie=== | ===Hilberts Idee von der Geometrie=== | ||
− | '''''„Man muss jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.'''“'' | + | '''''„Man muss jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.'''“''<br /> |
− | + | [[File:David Hilbert Vorlesung 1932.jpg|200px]]<br /> | |
− | ''David Hilbert (1862-1943)'' | + | ''David Hilbert (1862-1943)''<br /> |
+ | [[File:Humpen.jpg|Typischer Halbliter-Humpen|200px]] | ||
+ | ===Punkte bei den Altvorderen=== | ||
Auf die Frage, was denn eine Strecke sei, erhält man oft zur Antwort, es handle sich dabei um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Strecken sind offenbar durch Punkte bestimmt. Was aber ist ein Punkt? Diese Frage bewegte bereits im Altertum die Mathematiker, die damals zumeist auch Philosophen waren: | Auf die Frage, was denn eine Strecke sei, erhält man oft zur Antwort, es handle sich dabei um die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Strecken sind offenbar durch Punkte bestimmt. Was aber ist ein Punkt? Diese Frage bewegte bereits im Altertum die Mathematiker, die damals zumeist auch Philosophen waren: | ||
− | + | ====Plato==== | |
− | + | [[File:Head Platon Glyptothek Munich 548.jpg|Head Platon Glyptothek Munich 548|200px]] | |
− | | | + | |
''427 – 347 v.Chr.'' | ''427 – 347 v.Chr.'' | ||
− | ''„Ein Punkt ist der Anfang einer Linie.“'' | + | '''''„Ein Punkt ist der Anfang einer Linie.“''''' |
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− | + | ====Aristoteles==== | |
+ | [[File:Aristotle Altemps Inv8575.jpg|Aristotle Altemps Inv8575|200px]] | ||
− | + | ''384 – 322 v.Chr.''<br /> | |
− | + | '''''„Ein Punkt ist eine unteilbare Einheit, die eine Position besitzt.''“''' | |
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+ | ====Euklid==== | ||
+ | [[File:EuclidStatueOxford.jpg|EuclidStatueOxford|200px]]<br /> | ||
''um 365 bis ca. 300 v. Chr.'' | ''um 365 bis ca. 300 v. Chr.'' | ||
− | ''„Was keine Teile hat ist ein Punkt.''“ | + | '''''„Was keine Teile hat ist ein Punkt.''“''' |
− | + | ===Alles klar? Nein!=== | |
Bei allem Respekt vor den Leistungen dieser Herren, ihre „Definitionen“ des Begriffes Punkt schaffen dem Erkenntnissuchenden nur für einen kurzen Moment Erleichterung. Danach quält ihn erneut die Gewissheit, eigentlich nichts zu wissen. | Bei allem Respekt vor den Leistungen dieser Herren, ihre „Definitionen“ des Begriffes Punkt schaffen dem Erkenntnissuchenden nur für einen kurzen Moment Erleichterung. Danach quält ihn erneut die Gewissheit, eigentlich nichts zu wissen. | ||
− | * Was ist eine Linie? | + | '''* Was ist eine Linie? |
* Was ist der Anfang von etwas von dem ich nicht weiß, was es ist? | * Was ist der Anfang von etwas von dem ich nicht weiß, was es ist? | ||
* Was meint Aristoteles mit seiner Einheit? | * Was meint Aristoteles mit seiner Einheit? | ||
* Wenn ich schon nicht weiß, was mit Einheit gemeint ist, wie soll ich dann begreifen, was eine unteilbare Einheit ist? | * Wenn ich schon nicht weiß, was mit Einheit gemeint ist, wie soll ich dann begreifen, was eine unteilbare Einheit ist? | ||
− | * Wer oder was zum Teufel hat keine Teile? | + | * Wer oder was zum Teufel hat keine Teile?''' |
− | Betrachten wir doch einfach solche Objekte, mit deren Definition wir „weniger“ Schwierigkeiten haben. | + | ===Mehr ist einfacher=== |
+ | Betrachten wir doch einfach solche Objekte, mit deren Definition wir „weniger“ Schwierigkeiten haben. <br /> | ||
+ | (Ergänzen Sie die Definitionen) | ||
+ | ====Quadrat==== | ||
+ | {{Definition|1=Ein Quadrat ist ein Rechteck mit ... .}} | ||
+ | ====Rechteck==== | ||
+ | {{Definition|1=Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit ... .}} | ||
+ | ====Parallelogramm==== | ||
+ | {{Definition|1=Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit ... .}} | ||
+ | ====Trapez==== | ||
+ | {{Definition|1=Ein Trapez ist ein Viereck mit ... .}} | ||
+ | ====Viereck==== | ||
+ | {{Definition|1=Es seien <math>A,B,C,D</math> vier Punkte, von denen je drei nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Das Viereck <math>\overline{ABCD}</math> ist die Vereinigungsmenge ... .}} | ||
− | + | ====Strecke?==== | |
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Aus Gründen der Vollständigkeit wäre jetzt zu klären, was eine Strecke ist. Damit sind wir auf demselben Stand, wie zu Anfang dieser Ausführungen. Für den Begriff der Strecke brauchen wir wieder den Begriff des Punktes. Die Herren Plato, Aristoteles und Euklid waren diesbezüglich sehr bemüht aber letztlich nicht wirklich hilfreich. Irgendwann muss die Sache einmal „auf den Punkt gebracht“ werden: | Aus Gründen der Vollständigkeit wäre jetzt zu klären, was eine Strecke ist. Damit sind wir auf demselben Stand, wie zu Anfang dieser Ausführungen. Für den Begriff der Strecke brauchen wir wieder den Begriff des Punktes. Die Herren Plato, Aristoteles und Euklid waren diesbezüglich sehr bemüht aber letztlich nicht wirklich hilfreich. Irgendwann muss die Sache einmal „auf den Punkt gebracht“ werden: | ||
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=====Satz I.1===== | =====Satz I.1===== | ||
− | ::Es seien | + | ::Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn <math>g</math> und <math>h</math> nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. |
=====Beweis von Satz I.1===== | =====Beweis von Satz I.1===== |