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# y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: <math>v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t</math>
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# Fallbewegung nach unten: <math>y_f=\frac{g}{2}t^2</math>
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# Damit <math>y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2</math>
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# Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math>
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Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe <math>h_0</math> bei <math>x=18m</math> auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?
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Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) <math>P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}</math> eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) <math>y=ax^2+bx+c</math>. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).
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=Der Funktionsbegriff=
 
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==Elemente der Mengenlehre==
 
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==Kreuzprodukt zweier Mengen==
 
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Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.<br />
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Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.<br />
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==Relationen==
 
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==Funktionen als spezielle Relationen==
 
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===Rechtseindeutig===
 
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===Eineindeutige Funktionen===
 
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===Umkehrfunktion===
 
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=Lineare Funktionen=
 
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==proportionale Funktionen==
 
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==nichtproportionale lineare Funktionen==
 
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* Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
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* Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
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* Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.
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'''Satz:''' Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte <math>(x_1, f(x_1))</math> und <math>(x_2, f(x_2))</math> wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.
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Gegeben seien zwei Punkte:
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<math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}</math>                                          | <math>\cdot{(x-x_1)}</math> <math>+f(x_1)</math>
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<math>f(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)</math>
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<math>\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} </math> → ''a''
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<math>-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)</math>  → ''dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.''
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Somit ergibt sich: <math>f(x)=a\cdot{x} - b</math>
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==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen==
 
==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen==
 
==ax+by+c=0==
 
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==Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck==
 
==Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck==
 
==Sinus und Kosinus am Einheitskreis==
 
==Sinus und Kosinus am Einheitskreis==
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==Graphen der Funktionen sin und cos==
 
==Graphen der Funktionen sin und cos==
 
==Spezielle Funktionswerte==
 
==Spezielle Funktionswerte==
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! α !! 0° !! 30° !! 45° !! 60° !! 90°
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| cos α || 1 || <math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> ||<math>\frac{1}{2}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{1}{2}</math>  || 0
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|-
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| tan α || 0  || <math>\frac{1}{3}</math> <math>\cdot</math> <math>\sqrt{3}</math> ||1|| <math>\sqrt{3}</math> || -
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Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.
  
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[[Kategorie:PV]]
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''Herleitung mit Satz des Pythagoras und über sin,cos, tan an rechtwinkligen Dreiecken. Will das Jemand ausgeschrieben oder reicht die Zeichnung?''

Aktuelle Version vom 24. April 2017, 19:51 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe ~~~h_0
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag) ~~~v_0
Abwurfwinkel ~~~\alpha

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t

y-Komponente

Es addieren sich:

  1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t
  2. Fallbewegung nach unten: y_f=\frac{g}{2}t^2
  3. Damit y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2
  4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}

Experimentierumgebung

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Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe h_0 bei x=18m auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix} eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) y=ax^2+bx+c. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Elemente der Mengenlehre

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}
y=x^2

Relationen

Ordnungsrelationen

Äquivalenzrelationen

Funktionen als spezielle Relationen

Links-rechts eindeutig-total.svg

Linkstotal

\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R

Rechtseindeutig

\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2

Eineindeutige Funktionen

Umkehrfunktion

Lineare Funktionen

proportionale Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

[ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]

  • Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
  • Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
  • Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.


Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte (x_1, f(x_1)) und (x_2, f(x_2)) wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.


Gegeben seien zwei Punkte:


P_1(x_1, f(x_1)) und P_2(x_2, f(x_2))


a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}


a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}


\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} | \cdot{(x-x_1)} +f(x_1)


f(x)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{(x-x_1)} + f(x_1)


f(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)


\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} → a


-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1) → dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.


Somit ergibt sich: f(x)=a\cdot{x} - b

Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen

ax+by+c=0

quadratische Funktionen

Parabeln

Parabel als Ortskurve

Parabel als Funktion

Scheitelpunktslage

auf x-Achse verschoben

mit beliebigem Vektor verschoben

Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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Graphen der Funktionen sin und cos

Spezielle Funktionswerte

α 0° 30° 45° 60° 90°
sin α 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} 1
cos α 1 \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \frac{1}{2} 0
tan α 0 \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} 1 \sqrt{3} -

30°

45°

60°

Erstellt mit Geogebra

Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.

Herleitung mit Satz des Pythagoras und über sin,cos, tan an rechtwinkligen Dreiecken. Will das Jemand ausgeschrieben oder reicht die Zeichnung?

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