Version vom 12. April 2017, 21:06 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten
- 1.1 Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf
  - 1.1.1 Eingangsgrößen
  - 1.1.2 Herleitung der Vektorgleichung
2 Der Funktionsbegriff
3 Lineare Funktionen
4 quadratische Funktionen
- 4.1 Parabeln
5 Winkelfunktionen

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe	$~~~h_0$
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag)	$~~~v_0$
Abwurfwinkel	$~~~\alpha$

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
$v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t$

y-Komponente

Es addieren sich:

y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: $v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t$
Fallbewegung nach unten: $y_f=\frac{g}{2}t^2$
Damit $y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2$
Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: $P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}$

Experimentierumgebung

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Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe $h_0$ bei $x=18m$ auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) $P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}$ eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) $y=ax^2+bx+c$ . Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Elemente der Mengenlehre

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

$M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}$
$y=x^2$

Relationen

Ordnungsrelationen

Äquivalenzrelationen

Funktionen als spezielle Relationen

Linkstotal

$\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R$

Rechtseindeutig

$\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$

Eineindeutige Funktionen

Umkehrfunktion

Lineare Funktionen

proportionale Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

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Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.

Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte $(x_1, f(x_1))$ und $(x_2, f(x_2))$ wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

Gegeben seien zwei Punkte:

$P_1(x_1, f(x_1))$ und $P_2(x_2, f(x_2))$

$a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

$a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$ | $\cdot{(x-x_1)}$ $+f(x_1)$

$f(x)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{(x-x_1)} + f(x_1)$

$f(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)$

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x}$ → a

$-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)$ → dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.

Somit ergibt sich: $f(x)=a\cdot{x} - b$

Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen

ax+by+c=0

quadratische Funktionen

Parabeln

Parabel als Ortskurve

Parabel als Funktion

Scheitelpunktslage

auf x-Achse verschoben

mit beliebigem Vektor verschoben

Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

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Graphen der Funktionen sin und cos

Spezielle Funktionswerte

30°

45°

60°

@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 <math>-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)</math>  → ''dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.''
+Somit ergibt sich: <math>f(x)=a\cdot{x} - b</math>
 ==Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen==

Elementare Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Inhaltsverzeichnis

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

y-Komponente

Experimentierumgebung

Experimentieraufgaben

Umstrukturierung

Der Funktionsbegriff

Elemente der Mengenlehre

Kreuzprodukt zweier Mengen

Relationen

Ordnungsrelationen

Äquivalenzrelationen

Funktionen als spezielle Relationen

Linkstotal

Rechtseindeutig

Eineindeutige Funktionen

Umkehrfunktion

Lineare Funktionen

proportionale Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

Anstieg bei zueinander senkrechten Funktionsgraphen

ax+by+c=0

quadratische Funktionen

Parabeln

Parabel als Ortskurve

Parabel als Funktion

Scheitelpunktslage

auf x-Achse verschoben

mit beliebigem Vektor verschoben

Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Graphen der Funktionen sin und cos

Spezielle Funktionswerte

30°

45°

60°

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