Elementare Funktionen

Die Idee zur Prüfungsvorbereitung: Umstrukturieren des Bekannten

Beispiel: Quadratische Funktion / Schräger Wurf

Eingangsgrößen

Abwurfhöhe	$~~~h_0$
Abwurfgeschwindigkeit (Betrag)	$~~~v_0$
Abwurfwinkel	$~~~\alpha$

Herleitung der Vektorgleichung

x-Komponente

Die Bewegung in x-Richtung wird nur durch den entsprechenden Anteil der Anfangsgeschwindigkeit bewirkt:
$v_x=v_0 \cdot \cos \alpha \Rightarrow x = v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t$

y-Komponente

Es addieren sich:

1. y-Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: $v_y=v_0 \cdot \sin \alpha \Rightarrow y_w = v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t$
2. Fallbewegung nach unten: $y_f=\frac{g}{2}t^2$
3. Damit $y=v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2$
4. Ortsvektor der Punktmasse in Abhängigkeit der Zeit: $P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}$

Experimentierumgebung

[ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]

Experimentieraufgaben

Die Punktmasse P möge bei gegebener Abwurfhöhe $h_0$ bei $x=18m$ auftreffen. Es gibt hierfür genau zwei Lösungen, welche?

Umstrukturierung

Bekannterweise ist der Graph der Vektorfunktion (I) $P(t)=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \sin \alpha \cdot t - \frac{g}{2}t^2 \\ v_0 \cdot \cos \alpha \cdot t \end{pmatrix}$ eine Parabel mit der Funktionsgleichung (II) $y=ax^2+bx+c$. Entwickeln Sie aus der Vektorfunktion (I) die in der Schule übliche Gleichung (II).

Der Funktionsbegriff

Kreuzprodukt zweier Mengen

Es seien M und N zwei nicht leere Mengen.
Unter dem Kreuzprodukt MxN versteht man die mnge aller geordenten Paare (a,b) mit a aus M und b aus N.

$M \times N := \{(a,b)|a \in M, b \in N\}$
$y=x^2$

Funktionen als spezielle Relationen

Linkstotal

$\forall a\in A : \exists b\in B : (a,b)\in R$

Rechtseindeutig

$\forall a\in A : \forall b_1,b_2\in B : (a,b_1)\in R \wedge (a,b_2) \in R \Rightarrow b_1 = b_2$

Lineare Funktionen

nichtproportionale lineare Funktionen

Steigung

[ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]

• Das Verhältnis der beiden Katheten eines beliebigen Steigungsdreieck ein und derselben linearen Funktion ist immer gleich.
• Jedes Steigungsdreick ist ein rechtwinkliges Dreieck.
• Alle Steigungsdreiecke einer Funktion sind ähnlich.

Satz: Durch zwei beliebige voneinander verschiedene Punkte $(x_1, f(x_1))$ und $(x_2, f(x_2))$ wird eindeutig die Gleichung einer linearen Funktion bestimmt.

Gegeben seien zwei Punkte:

$P_1(x_1, f(x_1))$ und $P_2(x_2, f(x_2))$

$a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

$a=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}= \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$ | $\cdot{(x-x_1)}$ $+f(x_1)$

$f(x)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{(x-x_1)} + f(x_1)$

$f(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x} - \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)$

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\cdot{x}$ → a

$-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \cdot{x_1} +f(x_1)$ → dieser zweite Teil ist konstant; Diese Konstante kann ich einfach b nennen.

Somit ergibt sich: $f(x)=a\cdot{x} - b$

---

Winkelfunktionen

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

[ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ]

Spezielle Funktionswerte

α	0°	30°	45°	60°	90°
sin α	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\sqrt{3}$	1
cos α	1	$\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan α	0	$\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\sqrt{3}$	1	$\sqrt{3}$	-

60°

Erstellt mit Geogebra

Ein gleichseitiges Dreieck, wie in der Abbildung dient uns zur Herleitung der besonderen Werte.